1、HO收敛,又在州发散,则存在唯一的广0使得 ?2=0 =0S 工在(-)内绝对收敛,而在-厂丿外处处发散.发散I .收敛 )Q 严:(-x r xo0C定义2设71=0若乞咛仅在0收敛,则令r = 0.n=0若aux在(-oo,+oo)收敛,则令r = oo.n=Q(3).若工y在兀H0收敛,又工y在码发散,贝I令=0 /?X 、00r = sup敛端点叫做E anxu收敛域.oo 问题3:设,探究工X收敛的收敛半径的计算公式.n=0 n=0(1).当Zw(0,+oo)吋,lim x 1=打斗;若Z|x| 1 ,即|x| y,则丿发散故广=7.当u = 0 n, lim -t -J = / X
2、 = 0 8 Y /QC =lim = = 2,故厂=丄 n TOC njn 2oc I丄发散.=i斤1 S CC Qfl又当X詁时,工2 心n 心n| oo nn s Qn ( |当2 J时,工工丄2 n= ti /f=j n故E-y,的收敛半径为丄,收敛区间为 n 2=z(-r! 收敛.n= n,收敛域为J22/(2) 因 Z = limT8=lim(/? + !)!nlim = 0,故广=+oo n +1故丄兀的收敛半径为r = +00,收敛区间为(-00,00),收敛域为(-00,00). n= 乳!(3). SZ = lim”T8M an - lim VzF = lim n - +o
3、o,故厂=0. V Kco TOOco故乂*的收敛半径为,= o.(4).因 / =T8 /|-CO =lim 7 = 1,故广=1 ” i (呵8 1 CO 1又当兀 2 = 1,即“3时,2(2)=工2收敛.n= 斤 n= n8 I 8 |当尤一2 = 1,即x = 1时, 工占(一2)1工(-1)冷收敛.”=1 兀 n=l “故丈4(2)的收敛半径为厂=1,收敛区间为(1,3),收敛域为1,3 /=!乳例2.求下列幕级数的收敛半径,收敛区间,收敛域.丈-厅宀宀心 2n +1.為7(2)2“=| 兀 y(1). lims I加2总(心严 (_1厂_兀 )2 + 3l_F+iV 7 2n +
4、172=12+3lim“TOO2 + 12/7 + 3故卅s 1,即卜|rr2=E(-ry-7收敛 畀= 2n +1 2 +1半=_i 吋,f(-y-1x2w+,=y(-iy,+, 收敛.円 2n + l 心 2n + 故E x的收敛半径为厂=i,收敛区间为(-1,1),收敛域为-1,1 N=1 nToe(-1厂 7 0 + 2)! (-iy 厂 丿(2oc(2/? + 2)(2z? + l)XG(-OO, +00).s 1( 一1)亠己的收敛半径为厂=+8,收敛区间为(-卩切,收敛域为 /;=! (2町!-00,00).“TOC/r-cc(n + l)29/,+,2)n29n八2+2X1)2
5、nn2“卄|9(刃 + 1)-f.2l,即卜1|1,即心n 9 9S 1兀-1|3吋,rj7(x-l)2z,发散.于是厂=3. 00 1又半 1 = 3,即兀=4吋,工召(兀_1广=2收敛.n 9 n=i n I 00 1当x-l = -3,即 x-2吋,工(1广=(_1)4 收敛.”=1 9 /i=i nS I故工 -厅的收敛半径为心3,收敛区间为(-2,4),收敛域为-2,4.心才9故当一卜-19n=l(4). lim P竺,!I = lim 知I i总(宀严9 rT2 1x 33(/? + 1)32,故当弘-31,即卜-l|v的吋,工亠(3)曲收敛,而当:卜-3 n 3 33 “=1即卜
6、-3|a/5吋,y-Y(x-3)2n+1发散.于是厂=巧”=1 3 乂当x-3 = V3,即x = 3 + V3 时,丄(兀-3严 十”3八 ns 1 8 /q当x-3 = -巧,即x = 3-亦吋,卞7(兀-3)2曲=-卑收敛.心 n 3 h=i n故丫色(兀-3)如的收敛半径为厂=的,收敛区间为(3-V3,3 + V3),收敛域/i=i “ 3为3-巧,3 +的例3.求下列幕级数的收敛域.n工n=2z? +111 + x(1)令匕之,贝I + X “= 2/7 +2 + 32n +1/ = limS12卄1CC乞老收敛.8 H2(2). lg兀;/=! /=!兀八 、“ g 1丄严,于是
7、幺 2/7 + 1“TS2n + 3r故治詰收敛半径心,于是工才齐收敛区间为() 倚 1,得 21.由- = -1,无解;由- = 1,得x = 0.当尢=0吋, 1+兀 1+X鼎(曰仝丄发散心 2“ +1收敛域为(-1,+00)8 8 00(2) 令lgA=r,则 lg兀=广,于是广收敛半径r = l,收敛区间为 n= /? 斤=1由 |lgx|l,得 10兀 1 ,或兀一1 .X由丄=-1,得兀=-1 ;由丄=,得x = l.X X8 2 8当*-1吋,$=(-i)f发散”=1 X /?=18 II2 g当兀=1吋,发散./|=1 无 /?1收敛域为(Y, j)U(l,+8)n=l兀三幕级
8、数的运算S 工兀 =q()+d兀+ Q?兀2+ + dx + (a)n-0s n=b + bx + b-,x + + + (b)定义若幕级数)与(b)在某(00)内有相同的和函数,则称幕级数Q)与 (b)在(00)内相等.定理1若幕级数(小与(b)在某7(0,5)内相等,则它们的同次幕系数相等,即 an n = l,2,),定理2.若幕级数(a)与(b)的收敛半径分别为乙山,则c 吋=工咛“,卜|乙 (1) /r=0 丿 n=08 S 8工心丿土工b/“ =工”疋土仇兀),卜| r n=Q /=0 n=0其,Pr = min(r?,/;),q =工akbn_k.k=0后学结课教总课外作业实践与思考和师“析
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