函数的单调性与最值教学讲义Word下载.docx
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M为最大值
M为最小值
1．复合函数的单调性
函数y＝f（u），u＝φ（x），在函数y＝f[φ（x）]的定义域上，如果y＝f（u），u＝φ（x）的单调性相同，则y＝f[φ（x）]单调递增；
如果y＝f（u），u＝φ（x）的单调性相反，则y＝f[φ（x）]单调递减．
2．单调性定义的等价形式
设任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.
（1）若有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>
0或
>
0，则f（x）在闭区间[a，b]上是增函数．
（2）若有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<
<
0，则f（x）在闭区间[a，b]上是减函数．
3．函数单调性的常用结论
（1）若f（x），g（x）均为区间A上的增（减）函数，则f（x）＋g（x）也是区间A上的增（减）函数．
（2）若k>
0，则kf（x）与f（x）单调性相同，若k<
0，则kf（x）与f（x）单调性相反．
（3）函数y＝f（x）（f（x）>
0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝
的单调性相反．
（4）函数y＝f（x）（f（x）≥0）在公共定义域内与y＝
的单调性相同．
1．（教材改编）函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则（ B ）
A．m>
B．m<
C．m>
－
D．m<
[解析] 使y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数，则2m－1<
0，即m<
.
2．（教材改编）已知f（x）＝－2x2＋x，x∈[－1,3]，则其单调递减区间为 [
，3] ；
f（x）min＝__－15__.
3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在增区间为__[－1,1]和[5,7]__.
4．（2018·
衡水中学调研卷）若函数f（x）＝x2－2x＋m在[3，＋∞）上的最小值为1，则实数m的值为（ B ）
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
[解析] ∵f（x）＝（x－1）2＋m－1在[3，＋∞）上为单调增函数，又f（x）在[3，＋∞）上的最小值为1，∴f（3）＝1，即3＋m＝1，∴，m＝－2.故选B．
5．（2018·
河南中原名校质考）函数y＝log
（－x2＋x＋6）的单调增区间为（ A ）
A．（
，3） B．（－2，
）
C．（－2,3） D．（
，＋∞）
[解析] 由－x2＋x＋6>
0得－2<
x<
3.
函数由y＝log
u，u＝－x2＋x＋6（－2<
3）复合而成，且y＝log
u是减函数
由u＝－x2＋x＋6（－2<
3）开口向下且对称轴为x＝
知其减区间为（
，3），故所求函数的增区间为（
，3），故选A．
6．已知函数f（x）＝
是R上的减函数，则实数a的取值范围是 （－∞，
] .
[解析] 由题意得：
∴a≤
7．函数y＝f（x）是定义在[－1,3]上的减函数，且f（a＋1）<
f（2a），则实数a的取值范围是 [－
，1） .
，解得－
≤a<
1.
考点1 函数单调性的判断与证明——自主练透
例1
（1）判断函数f（x）＝2x＋2－x在区间（0，＋∞）上的单调性．
（2）已知a>
0，函数f（x）＝x＋
（x>
0），证明：
函数f（x）在（0，
]上是减函数，在[
，＋∞）上是增函数．
[解析]
（1）解法一：
设0<
x1<
x2，则
f（x1）－f（x2）＝2x1＋2－x1－2x2－2－x2＝（2x2－2x1）（
－1）．
∵0<
x2，∴2x2－2x1>
0.又2>
1，x1＋x2>
0，
∴2x1＋x2>
1，故
－1<
0.
∴f（x1）－f（x2）<
0.由单调函数的定义知函数f（x）在区间（0，＋∞）上为增函数．
解法二：
对f（x）＝2x＋2－x求导，得
f′（x）＝2xln2－2－xln2＝2－xln2（22x－1），
当x∈（0，＋∞）时，有2－x>
0,22x－1>
0，此时f′（x）>
∴函数f（x）＝2x＋2－x在区间（0，＋∞）上为增函数．
（2）证明：
设x1，x2是任意两个正数，且x1<
x2，则f（x1）－f（x2）＝（x1＋
）－（x2＋
）＝
（x1x2－a）．
当0<
x2≤
时，0<
x1x2<
a，又x1－x2<
所以f（x1）－f（x2）>
0，即f（x1）>
f（x2）．
所以函数f（x）在（0，
]上是减函数；
当
≤x1<
x2时，x1x2>
所以f（x1）－f（x2）<
0，即f（x1）<
所以函数f（x）在[
[答案]
（1）增函数，证明略
（2）略
考点2 求函数的单调区间——师生共研
例2 求下列函数的单调区间．
（1）f（x）＝－x2＋2|x|＋3；
（2）f（x）＝log
（－x2＋4x＋5）；
（3）f（x）＝x－lnx.
[分析]
（1）可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；
（2）复合函数求解；
（3）导数法．
（图象法）
∵f（x）＝
其图象如图所示，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为（－∞，－1]和[0,1]；
单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞）．
（化为分段函数求解）f（x）＝
＝
y＝－（x－1）2＋4（x≥0）图象开口向下，对称轴为x＝1，∴增区间为（0,1），减区间为（1，＋∞）；
y＝－（x＋1）2＋4（x<
0）图象开口向下，对称轴为x＝－1，∴增区间为（－∞，－1），减区间为（－1,0）；
∴f（x）的增区间为（0,1）、（－∞，－1），减区间为（1，＋∞）、（－1,0）．
解法三：
（复合函数法）函数由y＝－u2＋2u＋3（u≥0）和u＝|x|复合而成，y＝－u2＋2u＋3（u≥0）的对称轴为u＝1，由|x|＝1得x＝±
x
（－∞，－1）
（－1,0）
（0,1）
（1，＋∞）
u
u＝|x|
↘
↗
y＝－u2＋2u＋3
f（x）
∴f（x）在增区间为（－∞，－1），（0,1），减区间为（－1,0），（1，＋∞）．
（2）由－x2＋4x＋5>
0得－1<
5.令u＝－x2＋4x＋5，x∈（－1,5），则f（x）＝log
u.
∵x∈（－1,2]，u为增函数；
x∈（2,5）时，u为减函数．
又y＝log
u在（0，＋∞）上为减函数，据复合函数“同增异减”的性质知f（x）的单调递增区间为（2,5）；
单调递减区间为（－1,2]．
（3）由题意，得x>
0.y′＝1－
1
y′
＋
y
极小值
由上表可知，函数的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1）．
[引申1]
（1）本例
（1）f（x）＝|－x2＋2x＋3|的增区间为__（－1,1）和（3，＋∞）__.
（2）本例
（1）f（x）＝|－x2＋2|x|＋3|的减区间为__（－∞，－3）和（－1,0）和（1,3）__.
[解析]
（1）作出f（x）＝|－x2＋2x＋3|的图象，由图可知所示增区间为（－1,1）和（3，＋∞）．
作出f（x）＝|－x2＋2|x|＋3|的图象，由图可知所求减区间为（－∞，－3）和（－1,0）和（1,3）．
[引申2]本例
（2）f（x）＝loga（－x2＋4x＋5）（a>
1）的增区间为__（－1,2]__.
名师点拨 ☞
求函数的单调区间（确定函数单调性）的方法
（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．
（2）定义法：
先求定义域，再利用单调性定义求解．
（3）图象法：
如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直接写出它的单调区间．
（4）导数法：
利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
（5）求复合函数的单调区间的一般步骤是：
①求函数的定义域；
②求简单函数的单调区间；
③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．
注意：
（1）求函数单调区间，定义域优先．
（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
〔变式训练2〕
（1）已知函数f（x）＝
，则该函数的单调递增区间为（ B ）
A．（－∞，1] B．[3，＋∞）
C．（－∞，－1] D．[1，＋∞）
（2）函数f（x）＝|x－2|x的单调减区间是（ A ）
A．[1,2] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[2，＋∞）
（3）函数f（x）＝（a－1）x＋2在R上单调递增，则函数g（x）＝a|x－2|的单调递减区间是__（－∞，2]__.
[解析]
（1）设t（x）＝x2－2x－3，由t（x）≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f（x）的定义域为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．因为函数t（x）＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t（x）在（－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）．故选B．
（2）f（x）＝|x－2|x＝
由f（x）的图象可知，f（x）的单调减区间为[1,2]．选A．
（3）由已知得a－1>
0，∴a>
1，∴g（x）＝a|x－2|减区间为g＝|x－2|减区间，（－∞，2]，故填（－∞，2]．
考点3 函数单调性的应用——多维探究
角度1 利用函数的单调性求最值
例3 （2019·
厦门质检）函数f（x）＝（
）x－log2（x＋2）在区间[－1,1]上有最大值为__3__.
[解析] ∵y＝（
）x和y＝－log2（x＋2）都是[－1,1]上的减函数，∴y＝（
）x－log2（x＋2）是在区间[－1,1]上的减函数，∴最大值为f（－1）＝3.
角度2 利用函数的单调性比较大小
例4 （文）
，
（其中e为自然常数）的大小关系是（ A ）
A．
B．
C．
D．
（理）
[思考] 如何利用函数的单调性比较大小？
[解析] （文）构
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