函数的单调性与最值教学讲义Word下载.docx

1、M为最大值M为最小值1复合函数的单调性函数yf（u），u（x），在函数yf（x）的定义域上，如果yf（u），u（x）的单调性相同，则yf（x）单调递增；如果yf（u），u（x）的单调性相反，则yf（x）单调递减2单调性定义的等价形式设任意x1，x2a，b，x1x2.（1）若有（x1x2）f（x1）f（x2）0或0，则f（x）在闭区间a，b上是增函数（2）若有（x1x2）f（x1）f（x2）0，则kf（x）与f（x）单调性相同，若k0）在公共定义域内与yf（x），y的单调性相反（4）函数yf（x）（f（x）0）在公共定义域内与y的单调性相同1（教材改编）函数y（2m1）xb在R上是减函数，则（B

2、）Am Bm Dm解析使y（2m1）xb在R上是减函数，则2m10，即m0得2x3.函数由ylogu，ux2x6（23）复合而成，且ylogu是减函数由ux2x6（23）开口向下且对称轴为x知其减区间为（，3），故所求函数的增区间为（，3），故选A6已知函数f（x）是R上的减函数，则实数a的取值范围是（， .解析由题意得：a7函数yf（x）是定义在1,3上的减函数，且f（a1）f（2a），则实数a的取值范围是，1） .，解得a0，函数f（x）x（x0），证明：函数f（x）在（0，上是减函数，在，）上是增函数解析（1）解法一：设0x1x2，则f（x1）f（x2）2x12x12 x22x2（2 x

3、22 x1）（1）00.又21，x1x20，2x1x21，故10.f（x1）f（x2）0,22x10，此时f（x）函数f（x）2x2x在区间（0，）上为增函数（2）证明：设x1，x2是任意两个正数，且x1x2，则f（x1）f（x2）（x1）（x2）（x1x2a）当0x2时，0x1x2a，又x1x20，即f（x1）f（x2）所以函数f（x）在（0，上是减函数；当x1所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）所以函数f（x）在答案（1）增函数，证明略（2）略考点2求函数的单调区间师生共研 例2求下列函数的单调区间（1）f（x）x22|x|3；（2）f（x）log （x24x5）；（3）f（x）xln

4、x.分析（1）可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解；（2）复合函数求解；（3）导数法（图象法）f（x）其图象如图所示，所以函数yf（x）的单调递增区间为（，1和0,1；单调递减区间为1,0和1，）（化为分段函数求解）f（x）y（x1）24（x0）图象开口向下，对称轴为x1，增区间为（0,1），减区间为（1，）；y（x1）24（x0得10.y11yy极小值由上表可知，函数的单调递增区间为（1，），单调递减区间为（0,1）引申1（1）本例（1）f（x）|x22x3|的增区间为_（1,1）和（3，）_.（2）本例（1）f（x）|x22|x|3|的减区间为_（，3）和（1,0）和（1,3）_.

5、解析（1）作出f（x）|x22x3|的图象，由图可知所示增区间为（1,1）和（3，）作出f（x）|x22|x|3|的图象，由图可知所求减区间为（，3）和（1,0）和（1,3）引申2本例（2）f（x）loga（x24x5）（a1）的增区间为_（1,2_.名师点拨求函数的单调区间（确定函数单调性）的方法（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间（2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解（3）图象法：如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直接写出它的单调区间（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间（5）求复合函数的

6、单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间；求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”注意：（1）求函数单调区间，定义域优先（2）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接变式训练2（1）已知函数f（x），则该函数的单调递增区间为（B）A（，1 B3，）C（，1 D1，）（2）函数f（x）|x2|x的单调减区间是（A）A1,2 B1,0C0,2 D2，）（3）函数f（x）（a1）x2在R上单调递增，则函数g（x）a|x2|的单调递减区间是_（，2_.解析（1）设t（x）x22x3，由t（x）0，即x22x3

7、0，解得x1或x3，所以函数f（x）的定义域为（，13，）因为函数t（x）x22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t（x）在（，1上单调递减，在3，）上单调递增，所以函数f（x）的单调递增区间为3，）故选B（2）f（x）|x2|x由f（x）的图象可知，f（x）的单调减区间为1,2选A （3）由已知得a10，a1，g（x）a|x2|减区间为g|x2|减区间，（，2，故填（，2考点3函数单调性的应用多维探究角度1利用函数的单调性求最值 例3（2019厦门质检）函数f（x）（）xlog2（x2）在区间1,1上有最大值为_3_.解析y（）x和ylog2（x2）都是1,1上的减函数，y（）xlog2（x2）是在区间1,1上的减函数，最大值为f（1）3.角度2利用函数的单调性比较大小 例4（文），（其中e为自然常数）的大小关系是（A）A BC D（理）思考如何利用函数的单调性比较大小？解析（文）构