A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
【解析】 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f（x）|，g（x）的图象如图，而h（x）＝
故h（x）有最小值－1，无最大值．
【答案】 C
（2）函数图象的应用
①判断函数的性质．
②判定方程根的个数及不等式的解．
[对点训练]
1．（2019·绍兴一中模拟）函数y＝的图象大致是（ ）
解析：
选A.因为y＝，所以函数y＝是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当x＜－1时，恒有y＜0，故排除D；－1＜x＜0时，y＞0，故可排除B；故选A.
2．（2019·鄞州高级中学月考）已知函数f（x）＝，若关于f（x）的方程[f（x）]2－3f（x）＋a＝0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A.B.
C．（1，2）D.
解析：
选D.作出函数f（x）＝的图象，如图所示：
关于f（x）的方程[f（x）]2－3f（x）＋a＝0有8个不等的实数根，故Δ＝9－4a>0，a<，由函数f（x）图象可知f（x）∈（1，2），令t＝f（x），
则方程[f（x）]2－3f（x）＋a＝0可化为a＝－t2＋3t，t∈（1，2）．
a＝－t2＋3t表示开口向下，对称轴为直线t＝的抛物线，
可知a的最大值为－＋3×＝，
a的最小值为2，故a∈.综上可知a∈.故选D.
函数的性质及应用
[核心提炼]
1．函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．
2．函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义区间上具有相同的单调性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．
[典型例题]
（1）（2019·浙江吴越联盟）已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时为减函数，且f
（2）＝0，则集合{x|f（x－2）＞0}＝（ ）
A．{x|0＜x＜2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|0＜x＜2或x＞2}D．{x|x＜0或2＜x＜4}
（2）设函数f（x）＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．
【解析】
（1）因为奇函数满足f
（2）＝0，
所以f（－2）＝－f
（2）＝0.
对于{x|f（x－2）＞0}，当x－2＞0时，f（x－2）＞0＝f
（2），
因为当x∈（0，＋∞）时，f（x）为减函数，所以0＜x－2＜2，
所以2＜x＜4；
当x－2＜0时，不等式可化为f（x－2）>0＝f（－2），
因为当x∈（0，＋∞）时，f（x）为减函数，
所以函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，
所以x－2＜－2，所以x＜0.
综上可得，不等式的解集为{x|x＜0或2＜x＜4}，故选D.
（2）f（x）＝1＋，令g（x）＝，则g（x）为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g（x）max＋g（x）min＝0，而f（x）max＝1＋g（x）max，f（x）min＝1＋g（x）min，所以f（x）max＋f（x）min＝M＋m＝2.
【答案】
（1）D
（2）2
（1）四招破解函数的单调性
①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；
②对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题来解决；
③对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法；
④对于抽象函数一般用定义法．
（2）判断函数奇偶性的三个技巧
①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
②确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．
③对于偶函数而言，有f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．
[对点训练]
1．（2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）单调递减，若实数a满足f（log3a）＋f（loga）≥2f
（1），则a的取值范围是（ ）
A．（0，3] B．（0，]
C．[，3]D．[1，3]
解析：
选C.由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（－x）＝f（x），即有f（x）＝f（|x|），
由实数a满足f（log3a）＋f（loga）≥2f
（1），
则有f（log3a）＋f（－log3a）≥2f
（1），
即2f（log3a）≥2f
（1）即f（log3a）≥f
（1），
即有f（|log3a|）≥f
（1），
由于f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，
则|log3a|≤1，即有－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
2．（2019·绍兴、诸暨高考二模）已知f（x）是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：
①若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞x0；②若f[f（x0）]＞x0，则f（x0）＞x0；③若f（x）是奇函数，则f[f（x）]也是奇函数；④若f（x）是奇函数，则f（x1）＋f（x2）＝0⇔x1＋x2＝0，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个 D．1个
解析：
选A.对于①，因为f（x）是定义在R上的单调递增函数，若f（x0）＞x0，则f[f（x0）]＞f（x0）＞x0，故①正确；对于②，当f[f（x0）]＞x0时，若f（x0）≤x0，由f（x）是定义在R上的单调递增函数得f[f（x0）]≤f（x0）≤x0与已知矛盾，故②正确；对于③，若f（x）是奇函数，则f[f（－x）]＝f[－f（x）]＝－f[f（x）]，所以f[f（x）]也是奇函数，故③正确；对于④，当f（x）是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f（x1）＋f（x2）＝0，则f（x1）＝－f（x2）⇒x1＝－x2⇒x1＋x2＝0；若x1＋x2＝0⇒x1＝－x2⇒f（x1）＝f（－x2）＝－f（x2）⇒f（x1）＋f（x2）＝0，故④正确；故选A.
专题强化训练
1．（2019·金华十校调研）已知奇函数f（x）当x＞0时，f（x）＝x（1－x），则当x＜0时，f（x）的表达式是（ ）
A．f（x）＝－x（1＋x）B．f（x）＝－x（1－x）
C．f（x）＝x（1＋x）D．f（x）＝x（x－1）
解析：
选C.设x＜0，则－x＞0，又当x＞0时，f（x）＝x（1－x），故f（－x）＝－x（1＋x），又函数为奇函数，故f（－x）＝－f（x）＝－x（x＋1），即f（x）＝x（x＋1），故选C.
2．已知f（x）＝x＋－1，f（a）＝2，则f（－a）＝（ ）
A．－4B．－2
C．－1D．－3
解析：
选A.因为f（x）＝x＋－1，所以f（a）＝a＋－1＝2，所以a＋＝3，所以f（－a）＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4，故选A.
3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A．y
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