三维设计江苏专用届高三数学一轮总复习板块命题点专练十二圆锥曲线理文档格式.docx
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故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，∴a＝＝c，故e＝＝.
4．（2015·
陕西高考）已知椭圆E：
＋＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c,0），（0，b）的直线的距离为c.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）如图，AB是圆M：
（x＋2）2＋（y－1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．
解：
（1）过点（c,0），（0，b）的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，
解得离心率＝.
（2）法一：
由
（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M（－2,1）是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k（x＋2）＋1，代入①得（1＋4k2）x2＋8k（2k＋1）x＋4（2k＋1）2－4b2＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，
解得k＝.
从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
法二：
由
（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，点A，B关于圆心M（－2,1）对称，且|AB|＝.
则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得
－4（x1－x2）＋8（y1－y2）＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，
所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝（x＋2）＋1，代入②得
x2＋4x＋8－2b2＝0.
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
＝·
＝.
由|AB|＝，得＝，
解得b2＝3.
5．（2015·
安徽高考）设椭圆E的方程为＋＝1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
（1）求E的离心率e；
（2）设点C的坐标为（0，－b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
（1）由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
（2）由题设条件和
（1）的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，
则线段NS的中点T的坐标为.
又点T在直线AB上，且kNS·
kAB＝－1，
从而有
解得b＝3.
所以a＝3，
6.（2015·
江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
（1）由题意，得＝且c＋＝3，
解得a＝，c＝1，则b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
（2）当AB⊥x轴时，AB＝，又CP＝3，不合题意．
当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
将AB的方程代入椭圆方程，得
（1＋2k2）x2－4k2x＋2（k2－1）＝0，
则x1,2＝，
C的坐标为，
且AB＝
＝＝.
若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．
从而k≠0，故直线PC的方程为
y＋＝－，
则P点的坐标为，
从而PC＝.
因为PC＝2AB，
所以＝，
解得k＝±
1.
此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.
7．（2015·
北京高考）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0,1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．
（2）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：
y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？
若存在，求点Q的坐标；
若不存在，说明理由．
（1）由题意得解得a2＝2.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
设M（xM,0）．
因为m≠0，所以－1<
n<
1，
直线PA的方程为y－1＝x.
所以xM＝，即M.
（2）因为点B与点A关于x轴对称，所以B（m，－n）．
设N（xN,0），则xN＝.
“存在点Q（0，yQ）使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q（0，yQ）使得＝”，
即yQ满足y＝|xM||xN|.
因为xM＝，xN＝，＋n2＝1，
所以y＝|xM||xN|＝＝2.
所以yQ＝或yQ＝－.
故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为（0，）或（0，－）.
命题点二 双曲线 难度：
中命题指数：
☆☆☆☆
1．（2015·
全国卷Ⅱ改编）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°
，则E的离心率为________．
不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1（a>
0，b>
0），则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°
－120°
＝60°
，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.
四川高考改编）过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.
由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±
x，将x＝c＝2代入得y＝±
2，即A，B两点的坐标分别为（2,2），（2，－2），所以|AB|＝4.
4
全国卷Ⅱ）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y＝±
x，则该双曲线的标准方程为________．
法一：
∵双曲线的渐近线方程为y＝±
x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ（λ≠0）．
∵双曲线过点（4，），
∴λ＝16－4×
（）2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
∵渐近线y＝x过点（4,2），而<
2，
∴点（4，）在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方（如图）．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1（a>
0）．
由已知条件可得
解得
－y2＝1
北京高考）已知双曲线－y2＝1（a>
0）的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.
双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±
，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>
0，所以＝，所以a＝.
湖南高考）设F是双曲线C：
－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
不妨设F（－c,0），PF的中点为（0，b）．由中点坐标公式可知P（c,2b）．又点P在双曲线上，
则－＝1，故＝5，
即e＝＝.
6．（2015·
广东高考改编）已知双曲线C：
－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2（5,0），则双曲线C的方程为________．
∵e＝＝，F2（5,0），
∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
－＝1
江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝.
8．（2015·
全国卷Ⅰ改编）已知M（x0，y0）是双曲线C：
－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·
M<
0，则y0的取值范围是________．
由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1（－，0），F2（，0），
∴＝（－－x0，－y0），M＝（－x0，－y0）．
∵·
<
0，∴（－－x0）（－x0）＋y<
0，
即x－3＋y<
0.
∵点M（x0，y0）在双曲线上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<
0，∴－<
y0<
.
9．（2015·
重庆高考改编）设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是________．
由题意得A（a,0），不妨取B，C，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x0,0），由BD⊥AC得·
＝－1，解得c－x0＝，由题可知c－x0＝<
a＋＝a＋c，所以<
c2－a2＝b2⇒<
1⇒<
1⇒0<
1.因为双曲线渐近线的斜率为±
，所以渐近线斜率的取值范围是（－1,0）∪（0,1）．
（－1,0）∪（0,1）
命题点三 抛物线 难度：
☆☆☆☆☆
全国卷Ⅰ改编）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：
y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），
∴椭圆中c＝2，
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，
从而椭圆的方程为＋＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，
由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
6
山东高考）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：
－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：
x2＝2py（p＞0）交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
双曲线的两条渐近线方程为y＝±
x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·
kOA＝－1，又kBF＝＝－，kO
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