全国初中数学竞赛试题及答案.docx

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全国初中数学竞赛试题及答案

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）

题号

一

二

三

总分

1～5

6～10

11

12

13

14

得分

评卷人

复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线；

3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．

（第1（甲）题）

（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a

1（乙）．如果，那么的值为（）．

（A）（B）（C）2（D）

2（甲）．如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y=（b≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．

（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）

2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．

（A）10（B）9（C）7（D）5

3（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．

（A）1（B）（C）（D）

3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD=3，BD=5，则CD的长为

（）．

（第3（乙）题）

（A）（B）4（C）（D）4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：

“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：

“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．

（A）1（B）2（C）3（D）4

4（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．

（A）5（B）6（C）7（D）8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．

（A）（B）（C）（D）

5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．

（A）2012（B）101（C）100（D）99

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：

程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？

”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.

（第6（甲）题）

6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．

7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是.

（第7（甲）题）　　　　　　　（第7（乙）题）

7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．

8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+=0的两个实数根分别为，，那么的值为．

8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012.若能被5整除，则所有的个数为.

9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：

每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为.

9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.

10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BF⊥EC，并与

EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为.

（第10（甲）题）

10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．

11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=．

CD与y轴交于点E，且S△COE=S△ADE.已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.

（第11（乙）题）

12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：

△BOC∽△．

（第12（甲）题）

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：

（1）OI是△IBD的外接圆的切线；

（2）AB+AD=2BD.

（第12（乙）题）

13（甲）．已知整数a，b满足：

a－b是素数，且ab是完全平方数.当a≥2012时，求a的最小值.

13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？

并说明理由

14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.

14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案

一、选择题

1（甲）．C

解：

由实数a，b，c在数轴上的位置可知

，且，

所以．

1（乙）．B

解：

．

2（甲）．D

解：

由题设知，，，所以.

解方程组得

所以另一个交点的坐标为（3，2）.

注：

利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

2（乙）．B

解：

由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.

因为均为整数，所以有

解得

以上共计9对.

3（甲）．D

解：

由题设知，，所以这四个数据的平均数为

，

中位数为，

于是.

3（乙）．B

解：

如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.

（第3（乙）题）

由于AC=BC，CD=CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，

所以△BCD≌△ACE，BD=AE.

又因为，所以.

在Rt△中，

于是DE=，所以CD=DE=4.

4（甲）．D

解：

设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得

消去x得（2y－7）n=y+4，

2n=.

因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：

由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即.由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有.于是共有7组符合题意．

5（甲）．D

解：

掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．

5（乙）．C

解：

因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则

，

解得，．

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

解：

前四次操作的结果分别为

3x－2，3（3x－2）－2=9x－8，3（9x－8）－2=27x－26，3（27x－26）－2=81x－80.

由已知得27x－26≤487，

81x－80＞487.

解得7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，≤487≤487，故x的取值范围是

7＜x≤19．

6（乙）．7

解：

由已知可得

．

7（甲）．8

解：

连接DF，记正方形的边长为2.由题设易知△∽△，所以

，

由此得，所以.

（第7（甲）题）

在Rt△ABF中，因为，所以

，

于是.

由题设可知△ADE≌△BAF，所以，

.

于是，

，

.

又，所以.

因为，所以.

7（乙）．

解：

如图，设的中点为，连接，则．因为，所以

，

．

（第7（乙）题）

所以.

8（甲）．

解：

根据题意，关于x的方程有

=k2－4≥0，

由此得（k－3）2≤0．

又（k－3）2≥0，所以（k－3）2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.

故==．

8（乙）．1610

解：

因为==.

当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；

当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；

当被5除余数是0时，不能被5整除.

所以符合题设要求的所有的个数为．

9（甲）．8

解：

设平局数为，胜（负）局数为，由题设知

，

由此得0≤b≤43.

又，所以.于是

0≤≤43，

87≤≤130，

由此得，或.

当时，；当时，，，不合题设.

故．

9（乙）．≤1

解：

由题设得

所以，

即.

整理得

，

由二次函数的图象及其性质，得.

又因为≤1，所以≤1.

10（甲）．

解：

如图，连接AC，BD，OD.

（第10（甲）题）

由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°.

依题设∠BFC=90°，四边形ABCD是⊙O

的内接四边形，所以

∠BCF=∠BAD,

所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.

因为OD是⊙O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

于是.因此

.

由△∽△，知．因为，

所以，BA=AD，故

.

10（乙）.12

解：

由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．

（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．

（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．

（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．

因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．

三、解答题

11（甲）．解：

因为当时，恒有，所以

，

即，所以．

…………（5分）

当时，≤；当时，≤，即

≤，

且≤，

解得≤．

…………（10分）

设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得

．

因为，所以

，

解得，或．

因此．

…………（20分）

11（乙）．解：

因为sin∠ABC=，，所以

AB=10．

由勾股定理，得BO=.

（第11（乙）题）

易知△ABO≌△ACO，因此CO=BO=6.

于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.

设点D的坐标为（m，n），由S△COE=S△ADE，得S△CDB=S△AOB.所以

，

，

解得n=－4.

因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.

…………（10分）

因此CD，AO分别为A