哈密顿系统的数学建模与动力学分析_精品文档Word下载.doc

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其中，是时间变量，是输入变量.

6）输出方程

描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一般形式为：

7）状态空间表达式

状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：

通常，对于线性定常系统，状态方程为

其中，表示维状态向量，表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵，表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵，表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵，表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵，也称前馈系数矩阵.

由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下.

2.2线性定常连续系统的能控性

定义2.1设，若存在一分段连续控制向量，能在内，将系统从任意的初态转移至任意终态，则系统完全能控.

定理2.1系统完全能控的充要条件：

其中，，称为能控矩阵.

2.3线性状态反馈控制律

线性状态反馈控制律为式中，是参考输入，称为状态反馈增益矩阵.系统动态方程变为：

式中，，，当时，状态反馈系统闭环传递函数为

式中，为闭环系统的系统矩阵.

以上我们简要介绍了控制系统的有关问题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.

2.4极点配置

考虑下述单输入线性定常系统

（2.4.1）

其中为常阵，和分别为和常阵.选取线性定常反馈控制律，使得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.

问题SPA[状态反馈极点配置问题]给定矩阵，及一组共轭封闭复数，i=1，2，…，n（不必互异），求取矩阵使得

对问题SPA先考虑其解的存在性有：

定义2.2如果对于任何给定的一组共轭封闭复数，,前述问题SPA均有解，则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.

下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈任意配置极点的条件.

定理2.2定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1）完全能控

问题对单输入系统，给定能控矩阵对和一组期望的闭环特征值，要确定的反馈增益矩阵，使成立，.

对于上述问题，我们有下述算法：

算法2.1[单输入系统的极点配置设计]

第一步：

计算A的特征多项式，即

第二步：

计算由所决定的多项式，即

第三步：

计算

第四步：

计算变换阵

第五步：

求

第六步：

所求的增益阵.

2.5分析力学中相关的知识

1）广义坐标

能够完全确定质点系位形的独立参变量，用符号表示.

广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性，只需根据质点系的特点，选择那些能够惟一地确定该系统位形的参变量即可.

2）广义速率

在质点系中引入广义坐标之后，质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描述，即

广义速率：

3）广义坐标变分

假设在给定的运动初始条件下，某质点系的运动微分方程组的解已经求得，它的广义坐标运动方程为，广义速率于是广义坐标的全微分为

同样，广义坐标也有它的可能运动方程

比较统一瞬时广义坐标的真实运动和与其相邻的可能运动，并限定二者的差值为无限小量，即

就称为广义坐标变分.

4）质点系的自由度

该系统独立坐标变分的数目.对完整系统它的自由度等于它的广义坐标的数目.

5）广义动量

质点系的动能T对广义速率的偏导数，即

其中动能T是广义坐标和广义速率的函数.

6）勒让德变换

勒让德变换是把以为变量的函数变换成以为新变量的函数的一种特殊变换，称为的勒让德变换.

设有一个二次可微的函数，且在雅可比行列式不为零，即

的区域内存在以下变量变换

定义的勒让德变换为

于是有

下面给出对部分变量进行变换的情况

，

对保留变量有

定理2.3哈密顿原理

从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式，即

其中是系统动能的变分，是作用于系统的所有主动力的虚功.

当作用在系统上主动力为有势时，.引入哈密顿作用量

其中为拉格朗日函数，是系统动能与势能之差，即.

于是，对完整系统哈密顿原理可以写成常见的变分形式

3哈密顿系统的动力学表述

——哈密顿正则方程

3.1保守系统的情形

拉格朗日方程是用一组关于个广义坐标的二阶常微分方程组来描述系统的运动.方程的建立完全依赖于以为变量的拉格朗日函数L，即.哈密顿以广义动量取代广义速度，以为变量，称为哈密顿变量或正则变量.以哈密顿函数代替拉格朗日函数，用个关于广义坐标和广义动量为变量对称整齐的一阶常微分方程组，即称为哈密顿正则方程或正则方程，以此来描述系统的运动.因本文是针对线性系统而言，故这里只给出单自由度系统的哈密顿正则方程，下面用哈密顿原理导出单自由度系统的哈密顿正则方程.

首先，利用勒让德变换把以为变量的拉格朗日函数L变换成以为新变量的哈密顿函数.显然，新变量代替旧变量参与变换，而同时保留变量及.

根据对原变量进行部分替换的勒让德变换，可得哈密顿函数

因此，拉格朗日函数代入哈密顿原理，即

对上式进行变分运算，得

（3.1.1）

将上式第一项改写成如下形式，即

代入式（3.1.1），有

（3.1.2）

因为系统在始末位置是确定的，则有

，（3.1.3）

.（3.1.4）

根据广义动量的定义，由部分勒让德变换可得

（3.1.5）

因此式（3.1.2）成为

对于完整系统，由于可以任意取值，因此欲使上式成立，必有

（3.1.6）

联立式（3.1.5）和式（3.1.6），即关于变量的哈密顿正则方程

3.2非保守系统的情形

系统除有势力以外还存在非有势力作用的情形.在哈密顿原理的一般形式

（3.2.1）

中，系统的主动力的虚功可写成如下形式：

其中，和分别表示有势力和非有势力的虚功.将上式代入式（3.2.1），得

将代入上式，并进行变分运算，得

利用式（3.1.2）和式（3.1.3）有

采用与前面同样的作法，即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程

（3.2.2）

式中为系统的非有势力对应于的广义力.

4利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型

—水平弹簧质量振动系统

图4.1弹簧质量振动系统

4.1水平弹簧质量系统的问题描述

假设系统满足条件：

1）振动无阻尼.

2）系统只能在水平方向即方向运动.

3）外力，以的同方向为正.

要求：

1）建立弹簧质量系统的运动微分方程.

2）求出反馈增益阵.

3）弹簧质量系统仿真模拟.

4）作任何有意义的讨论.

4.2水平弹簧质量问题的分析

解：

令为输入量，为输出量，取弹簧等于原长时，质量位置为坐标轴的原点，取为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置，则系统的势能，因此系统的拉格朗日函数

求得广义动量

因此

计算哈密顿函数，并把它写成广义动量和广义坐标的函数

求得H后，按式（3.2.2）写出系统的正则方程

由上二式消去，得到系统运动微分方程

4.3建立弹簧质量系统的数学模型

令则有

输出方程为

则弹簧质量系统的状态空间表达式

其中.

5系统闭环状态反馈控制器设计

5.1系统状态反馈控制

根据线性系统状态反馈控制律，设状态反馈下受控系统的输入为（为反馈增益矩阵，），将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表达式，得到弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式

其中.

6求解状态反馈增益阵

由定理2.1

显然系统完全能控，故满足闭环极点可任意配置条件.

取

；

给定一组期望的闭环特征值

1）现计算系统的特征多项式

再由指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为

于是可求得

再来计算变换阵

并求出其逆

从而所要确定的反馈增