企业养老金制度改革的数学模型国一_精品文档Word文件下载.doc

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养老金会随着社会平均工资的调整而调整。

如果职工死亡，基础养老金不退给职工而个人账户中的余额可继承。

个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为3%。

影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。

替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。

按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；

替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

附件1是山东省职工历年平均工资数据；

附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。

请建立数学模型，解决如下问题：

问题一：

对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：

根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。

如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：

假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。

计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：

如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。

请给出你的理由。

二、模型假设

1、假设在2010～2035年山东省的经济不会出现较大的震荡，并维持相对稳定。

2、假设在问题2中各范围的工资部分相对稳定。

3、假设企业缴纳的基本养老保险基金与职工个人缴纳的个人账户养老基金按年度按时缴纳，不会出现中断。

4、假设在2011～2035年，山东省养老制度基本不变。

5、假设以2009年为参照水平，各年龄阶段职工工资与社会平均工资之比以及各年龄阶段平均工资与企业平均企业工资之比不变。

6、假设职工在退休时的个人账户存储额不再产生利息。

7、假设养老保险金不存在隐性债务危机。

三、符号说明

取分别表示对应年

表示按阻滞增长第年省平均工资

表示第个年龄段的平均工资与企业的平均工资之比，且

表示第个年龄段的平均工资与社会的平均工资之比，且

表示替代率，且

表示退休时的养老金

表示基础养老金

表示个人帐户养老金

表示退休前的工资

其他参数，文中另作说明

四、模型的建立与求解

4.1问题一

4.1.1问题的分析

从1978年开始，中国步入改革开放的新时代。

在相关政策的实施下，中国的经济处于蓬勃的发展。

问题一要求预测2011年到2035年山东省职工的年平均工资，而工资的增长由于经济增长相关。

所以，在预测2011年到2035年的职工年平均工资，就必须对经济发展和工资增长的形式作出合理的、简化的假设。

首先，应该对附件一的数据进行分析，画出经济增长的散点图。

根据工资增长的趋势，进行函数拟合。

然后，在对拟合出的函数进行检验，检验其是否符合经济变化的趋势。

如果不符合经济增长的规律，就必须对拟合的函数进行改进，直到拟合出的工资增长函数与经济变化和市场经济的客观规律相符合。

那么通过拟合出的函数预测2011年到2035年山东省职工年平均工资就符合市场经济变化趋势。

最后，还要用拟合的函数算出1978年到2010年的年平均工资，与已知数据对比，进行拟合度检验。

4.1.2模型一的分析与建立

由题目附件一给出的山东省1978年到2010年职工年平均工资数据作出如下表格（表一）：

表一山东省职工历年平均工资统计表

年份

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

平均

工资

566

632

745

755

769

789

985

1110

1313

1987

1988

1989

1900

1991

1992

1993

1994

1995

1428

1782

1920

2150

2292

2601

3149

4338

5145

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

5809

6241

6854

7656

8772

10007

11374

12567

14332

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

16614

19228

22844

26404

29688

32074

根据以上表格中的数据利用MATLAB数学软件画出年份与平均工资的散点图：

图1

由图1可以观察，职工年平均工资呈指数型增长，因此建立如下拟合函数

（1）

4.1.3模型的求解

将

（1）式进行线性化处理，等式两边同时取对数，得

令则该方程变为

利用MATLAB求解模型可得出，从而

则年份与平均工资的关系为：

（2）

由

（1）、

（2）式可以可以绘制出原图形与拟合图像：

图2

观察上图可以看出，模型拟合度比较好，在1978年到2010年间，用指数函数拟合的年平均工资与已知的年平均工资非常逼近。

但是，模型一存在着如下不足：

当年份时，职工年平均工资。

这明显与实际情况不相符，经济不可能达到无限增长。

此模型还存在不足，因此，模型还有待改善。

4.1.5模型一的改进

基于模型一的不足，考虑到人口老龄化而导致劳动力减弱，农村劳动力转移城镇等多种可能情况对经济增长的影响，借助“人口阻滞模型”的相关规律，在经济增长的规律中，经济不可能无限增长。

那么，可以认为在经济增长的过程中，也存在着类似“阻滞模型”变化的规律。

仍引用表一的数据，借助“人口阻滞模型”类似的可以得到如下“经济阻滞模型”

（3）

其中，表示职工年平均工资可能取到的最大值；

为1978年的职工年平均工资；

为经济自然增长率；

（分别表示年）。

元，年，利用MATLAB进行非线性拟合，编写程序（附录一）计算得出：

，

则函数表达式为：

（4）

用非线性拟合出图形为：

图3

由图3可以看出，此模型拟合度较高，随着时间的增加在某一点将会出现“拐点”；

之后，年平均工资增长将会趋于相对稳定。

而由公式（4）可知，随年份时，职工年平均工资将会最终趋于稳定。

这也和市场经济的客观规律相吻合，还符合中国经济发展的要求。

因为，在21世纪中叶中国的人均国民生产总值将会达到中等发到国家的水平，经济发展将会变缓。

由图3观察，“拐点”将出现在在二十一世纪中叶。

所以“经济阻滞增长”模型符合客观实际。

预测出年山东省平均工资（表二）：

表二年山东省平均工资

2011

2012

2013

2014

2015

年平均工资

35654.27

39904.18

44571.90

49677.16

55235.58

2016

2017

2018

2019

2020

61257.40

67746.28

74698.05

82099.66

89928.35

2021

2022

2023

2024

2025

98151.12

106724.68

115595.91

124702.80

133976.01

2026

2027

2028

2029

2030

143340.82

152719.49

162033.84

171207.79

180169.86

2031

2032

2033

2034

2035

188855.24

197207.52

205179.86

212735.62

219848.44

4.2问题二

4.2.1问题的分析

问题二需要解决的问题是养老金替代率，即是指劳动者退休时的养老金领取水平与退休前工资收入水平之间的比率。

它是衡量劳动者退休前后生活保障水平差异的基本指标之一。

从题目以及附件三中的相关信息可得：

故由上述关系式可建立数学模型计算出该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）为止的养老金替代率。

由于附表二中所给数据有限，未能找到2009年岁这一年龄阶段的职工工资范围，因此，首先需要根据2009年其他年龄段的平均工资拟合得出岁这一年龄阶段的职工平均工资。

再根据该企业各个年龄阶段的平均工资与山东省社会职工的平均工资之比以及该企业各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比（缴费指数的参考值），综合可求解问题中六种情况的“替代率”。

4.2.2模