版高考数学一轮复习讲义 第二章 函数 26 函数模型及函数的综合应用讲义Word格式.docx

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恒成立,则的最小值为. 

.（课标全国Ⅰ理改编分）已知函数（）

若（）≥,则的取值范围是. 

答案　[]

.（江苏分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为,如图所示为的两个端点,测得点到的距离分别为千米和千米,点到的距离分别为千米和千米,以所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系,假设曲线符合函数

（其中为常数）模型.

（）求的值;

（）设公路与曲线相切于点的横坐标为.

①请写出公路长度的函数解析式（）,并写出其定义域;

②当为何值时,公路的长度最短?

求出最短长度.

解析　（）由题意知,点的坐标分别为（）,（）.

将其分别代入

得

解得

（）①由（）知

（≤≤）,则点的坐标为

设在点处的切线交轴分别于点'

则的方程为

（）,由此得

故（）

∈[].

②设（）

则'

（）

.令'

（）,解得

当∈（

）时'

（）<

（）是减函数;

（）>

（）是增函数;

从而,当

时,函数（）有极小值,也是最小值,所以（）,此时（）

答:

当

时,公路的长度最短,最短长度为

千米.

.（课标全国Ⅰ分）设函数（）（）（）.若曲线（）和曲线（）都过点（）,且在点处有相同的切线.

（）若≥时,（）≤（）,求的取值范围.

解析　（）由已知得（）（）,'

（）'

（）.

而'

（）（）,故.从而.

（）由（）知,（）（）（）.

设函数（）（）（）（）,则

'

（）（）（）（）.

由题设可得（）≥,即≥.

令'

（）,得.

（）若≤<

则<

≤.从而当∈（）时'

;

当∈（∞）时'

.即（）在（）上单调递减,在（∞）上单调递增.故（）在[∞）上的最小值为（）.而（）

（）≥.

故当≥时（）≥,即（）≤（）恒成立.

（）若,则'

（）（）（）.从而当>

时'

即（）在（∞）上单调递增.

而（）,故当≥时（）≥,即（）≤（）恒成立.

（）若>

则（）（）<

.从而当≥时,（）≤（）不可能恒成立.

综上的取值范围是[].

教师用书专用（—）

.（浙江分）已知∈,函数（）

在区间[]上的最大值是,则的取值范围是. 

.（天津理改编分）已知函数（）（）.设关于的不等式（）<

（）的解集为.若

⊆,则实数的取值范围是. 

三年模拟

组　—年模拟·

基础题组

.（江苏扬州中学质检）某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为（忽略内、外环线长度差异）.

（）当列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为,求内环线列车的最小平均速度;

（）新调整的方案要求内环线列车平均速度为,外环线列车平均速度为.现内、外环线共有列列车投入运行,问:

要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短,则内、外环线应各投入几列列车运行?

解析　（）设内环线列车运行的平均速度为,由题意可知

×

≤⇒≥.所以,要使内环线乘客最长候车时间为,列车的最小平均速度是.

（）设内环线投入列列车运行,则外环线投入（）列列车运行,设内、外环线乘客最长候车时间分别为、,则

.设内、外环线乘客的候车时间之差为,于是有

该函数在（）上递减,在（）上递增.又（）>

（）,所以当内环线投入列列车运行,外环线投入列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时间之差最短.

.（江苏扬州期中）如图,某市在海岛上建了一水产养殖中心.在海岸线上有相距千米的两个小镇,并且千米千米,已知镇在养殖中心工作的员工有百人镇在养殖中心工作的员工有百人.现欲在之间建一个码头,运送来自两镇的员工到养殖中心工作,又知水路运输与陆路运输每百人每千米运输成本之比为∶.

（）求∠的大小;

（）设∠θ,试确定θ的大小,使得运输总成本最少.

解析　（）在△中∠

所以∠

（）在△中,由

得

所以

设水路运输每百人每千米的运输成本为元,陆路运输每百人每千米的运输成本为元>

则运输总成本（）×

[（）]

令（θ）

θ∈

（θ）

（θ）,解得θ

θ

当<

θ<

（θ）<

（θ）单调递减;

<

（θ）>

（θ）单调递增,

∴当θ

时（θ）取得最小值,

∵>

∴当θ

时取得最小值.

此时

满足<

所以点落在之间,符合题意.

所以θ

时,运输总成本最少.

当θ

.（江苏镇江期末）如图,某公园的三条观光大道围成直角三角形,其中直角边,斜边.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏,所在位置分别记为点.

（）若甲、乙都以每分钟的速度从点出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟分钟出发,当乙出发分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;

（）设∠θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的倍,且∠

请将甲、乙之间的距离表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.

解析　（）依题意得,

在△中

∴

在△中,由余弦定理得:

·

×

∴

甲、乙两人之间的距离为

.

（）由题意得,∠∠θ,

在直角三角形中·

∠θ,

在△中,由正弦定理得

即

时取得最小值

答

且甲、乙之间的最小距离为

提升题组

（满分分　时间分钟）

解答题（共分）

.（江苏南京、盐城一模）如图所示,某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心,其中米.活动中心东西走向,与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形,上部分是以为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足θ

（）若设计米米,问能否保证上述采光要求?

（）在保证上述采光要求的前提下,如何设计与的长度,可使得活动中心的截面面积最大?

（注:

计算中π取）

解析　如图所示,以点为坐标原点所在直线为轴,建立平面直角坐标系.

（）因为,所以半圆的圆心为（）,

半径.设太阳光线所在直线的方程为

即,

则由

解得或

（舍）.

故太阳光线所在直线的方程为

令,得,因为<

所以此时能保证采光要求.

（）设,则半圆的圆心为（）,半径为.

设太阳光线所在直线的方程为

即,由

令,得

由≤

得≤.

所以活动中心的截面面积

π

≤（）

（）≤.

当且仅当时取等号.

所以当米且米时,活动中心的截面面积最大.

.（江苏苏、锡、常、镇四市二模）如图是某设计师设计的形饰品的平面图,其中支架两两成°

角,且>

.现设计师在支架上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为,且与的长成正比,比例系数为（为正常数）;

在△区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为,且与△的面积成正比,比例系数为

.设.

（）求关于的函数解析式,并写出的取值范围;

（）求的最大值及相应的的值.

解析　（）由题意得,

在△中,由余弦定理得°

（）,

由>

>

得<

所以的取值范围是

△,

且（）

设,则∈

且

≤

（

）.

当且仅当

即

时取等号,此时∈

所以当

时取最大值（

方法题组

方法　函数的实际应用题

.（江苏常熟高三期中）如图所示为自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形,其中为米,梯形的高为米为米,上部是个半圆,固定点为的中点是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆,且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方或上方时,通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.

（）设与之间的距离为

米,试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数（）;

（）当与之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积取得最大值?

解析　（）当≤<

时,过作⊥于（如图）.

则

由

∴,

∴（）·

（）（）.

时,过作⊥于,连结（如图）.

综上（）

（）当≤<

时（）

∴（）在[）上递减,

∴（）（）.

时（）（）

≤·

当且仅当（）

∈

时取“”,∴（）

∵

∴（）的最大值为

故当与之间的距离为

米时,通风窗的通风面积取得最大值.

.一个圆柱形圆木的底面半径为,长为,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形（如图所示,其中为圆心在半圆上）,设∠θ,木梁的体积为（单位）,表面积为（单位）.

（）求关于θ的函数表达式;

（）当体积最大时,求θ的值;

（）当木梁的体积最大时,其表面积是否也最大?

请说明理由.

解析　（）梯形

θθθθ,θ∈

体积（θ）（θθθ）,θ∈

（θ）（θθ）（θ）（θ）.

（θ）,得θ

或θ（舍）.

∵θ∈

∴θ

当θ∈

时,

≤θ<

（θ）≥（θ）为增函数;

时<

θ<

（θ）为减函数,

时,体积最大.

（）是.理由如下:

木梁的侧面积侧（）·

θ

梯形侧（θθθ）

设（θ）θ,θ∈.∵（θ）,

∴当,即θ时（θ）最大.

又由（）知θ时θθθ取得最大值,所以θ时,木梁的表面积最大.

综上,当木梁的体积最大时,其表面积也最大.