求极限的几种方法Word格式文档下载.docx

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利用两个准则求极限.

1、函数极限的迫敛性（夹逼法则）：

已知为三个数列，且满足：

（1）

（2），

则极限一定存在，且极限值也是，即.

利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得.

例[1]：

求：

解：

易见：

因为，

所以由准则1得：

2、单调有界准则：

单调有界数列必有极限，而且极限唯一.

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式

求极限.

证明下列数列的极限存在，并求极限.

证明：

从这个数列构造来看显然是单调增加的.用归纳法可证.

因为

所以得.因为前面证明是单调增加的.

两端除以得﹤

因为则,从而，

即是有界的.根据定理有极限，而且极限唯一.

令则

则因为解方程得

所以

2.2:

利用极限的四则运算性质求极限

极限的四则运算法则叙述如下：

若,

（1）

（2）

（3）若B≠0则：

（4）（c为常数）

上述性质对于

总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商.

通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算.首先对函数施行各种恒等变形.例如分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；

分子、分母有理化消除未定式；

通分化简；

化无穷多项的和（或积）为有限项等.

例:

求下列极限

（1）

（2）（3）

（4）

解：

（1）

（2）=

（3）

（4）

2.3:

利用导数的定义求极限

导数的定义：

函数在附近有定义，，则，若极限

存在，则称此极限值就是函数在点处的导数，记为，.在这种方法的运用过程中，首先要选好然后把所求极限表示成在定点处的导数.

求

解:

2.4:

利用两个重要极限公式求极限

两个重要极限公式：

但我们经常使用的是它们的变形：

在这一类题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式.

例[4]:

求下列极限

所以

（2）

2.5：

利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件:

若级数收敛,则运用这个方法首先判

定级数收敛，然后求出它的通项的极限.

例[2]:

，

由比值判别法知收敛，由必要条件知.

2.6：

利用单侧极限求极限

形如:

（1）求含的函数趋向无穷的极限，或求含的函数趋于0的极限.

（2）求含取整函数的函数极限.

（3）求分段函数在分段点处的极限.

（4）求含偶次方根的函数以及含或的函数趋向无穷的极限.

这种方法还能用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极

限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在.

已知,

所以

2.7：

利用函数的连续性求极限

即：

这种方法适用于求复合函数的极限.

连续，那么复合函数

在点连续.即，也就是说,极限号可以与符号互换顺序.

所以

2.8:

利用无穷小量的性质求极限：

无穷小量的性质:

无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量.,在

某区间那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题.

2.9：

利用等价无穷小量代换求极限：

定理1无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）.

定理2当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

说明:

当上面每个函数中的自变量换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如:

当时，

定理3如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=.

等价无穷小量：

当时，称是等价无穷小量，记为.

在求极限过程中，这样做:

例：

求

因为，～

所以，原式

2.10：

利用中值定理求极限：

1、微分中值定理：

则在内至少存在一点，使

例[2]：

求

2、积分中值定理：

设函数在闭区间上连续；

在上不变号且可积，则在

上至少有一点使得

例:

求

解:

2.11:

利用洛必达法则求极限：

定理4假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：

（1）和的极限都是0或都是无穷大；

（2）和都可导，且的导数不为0；

（3）存在（或是无穷大）；

则极限也一定存在，且等于，即=.

说明：

定理4称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不

满足，洛比达法则就不能应用.特别要注意以下几点：

1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导.

2、应用洛必达法则，要分别求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.

3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不

是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.

4、当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用

另外方法.

例[1]:

（1）求

（2）求

（1），所以上述极限是待定型

（2）为型

由对数恒等式可得

，，

2.12:

利用定积分求和式的极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数.把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限.

由于

可取函数区间为上述和式恰好是在上等分的积分和.所以：

2.13：

利用泰勒展开式求极限：

在用泰勒展开式求极限时首先要清楚泰勒定理成立的条件，清楚泰勒公式、麦克劳林公式的表达形式以及常见的麦克劳林展开式.实际上，泰勒公式在证明、计算极限等方面有着广泛而独到的应用.

泰勒展开式：

若那么:

于是

2.14:

利用换元法求极限：

形如

例[3]:

结论

本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,并且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,从而使大家深刻理解极限的概念，熟练掌握求极限的方法.由于本文对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性.但在实际学习中很多题是综合运用多种方法求解的，所以求极限时，首先观察数列或函数的形式，选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限.

致谢

这次毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是在教授全面、具体的指导之下进行的.从论文的选题、文献的采集、框架的设计、结构的布局到最终的论文定稿，从内容到格式，从标题到标点，他都费尽心血.教授渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘.老师严谨的治学态度和一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作.在此，谨向导师教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！

同时还要感谢一直关心支持我的家人对我的教诲、帮助和鼓励.感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆. 

参考文献

[1]陈传璋，金福临.数学分析（上下册）第二版[M].北京:

高等教育出版社,1983.

[2]蔡子华.2011考研数学复习大全（经济类）[M].北京:

原子能出版社,2010.

[3]朱定符.用换元法求不定式的极限[J].中等数学,1987（05）:

38.

[4]李小光.求极限的若干技巧[J].西安航空技术高等专科学校学报,2002,20

（1）:

42-44.

[5]陈凌.两类数列极限的求法[J].科技创新导报,2010（28）:

255-256.

[6]李鸿鹏.浅谈求极限的几种计算方法[J].科技创新导报,2008（21）:

155-158.

[7]李学武.数列极限的求解方法[J].高中数学教与学,2006（12）:

22-24.

[8]王莲招.求极限的方法[J].数学学习与研究,2010（15）:

89-92.

[9]杨建荣.谈求极限的主要方法[J].科技信息,2007（30）:

553-561.

[10]王烂漫.高等数学中求极限的常用方法[J].湖南工程学院学报,2002,12（3）:

72-76.

[11]齐秋菊.浅析求极限的几种方法[J].高校理科研究,2009（10）:

62.

[12]徐荣贵.求极限的方法和技巧[J].四川工程职业技术学院学报,2006

（1）:

24-29.

Severalmethodsforlimit

Abstract：

Limithasbeenoneofthebasiccontentofmathematicalanalysis，whiletheseriestoLimitcanbedescribedasdiverse,andconcludedbyinduction,wesetouttherequirementsofsomecommonlyusedmethod.Thispapersummarizesfourteenmethodsoflimitinmathematicalanalysis:

Limitofusingtwocriteria、theuseofarithmeticnatureofthe