1990年全国高考数学试题及答案.docx

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1990年全国高考数学试题及答案

1990年全国高考数学试题

（理工农医类）

一、选择题:

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.

一、选择题:

本题考查基本知识和基本运算.

（1）A

【】

[Key]

（2）B

（3）如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

【】

[Key]（3）D

（4）方程sin2x=sinx在区间（0,2π）内的解的个数是

（A）1（B）2（C）3（D）4【】

[Key]（4）C

（5）

【】

[Key]（5）C

（A）{-2,4}（B）{-2,0,4}

（C）{-2,0,2,4}（D）{-4,-2,0,4}【】

[Key]（6）B

（7）如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

（C）a=3,b=-2（D）a=3,b=6【】

[Key]（7）A

（A）圆（B）椭圆

（C）双曲线的一支（D）抛物线【】

[Key]（8）D

（B）{（2,3）}

（C）（2,3）（D）{（x,y）│y=x+1}【】

[Key]（9）B

【】

[Key]（10）D

（11）如图,正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于

（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°【】

[Key]（11）C

（12）已知h>0.设命题甲为:

两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:

两个实数a,b满足│a－1│

（A）甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件

（B）甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件

（C）甲是乙的充分条件

（D）甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【】

[Key]（12）B

（13）A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有

（A）24种（B）60种（C）90种（D）120种【】

[Key]（13）B

（14）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

（A）70个（B）64个（C）58个（D）52个

【】

[Key]（14）C

（15）设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是

（A）y=-arctg（x-2）（B）y=arctg（x-2）

（C）y=-arctg（x+2）（D）y=arctg（x+2）【】

[Key]（15）D

二、填空题:

把答案填在题中横线上.

（17）（x-1）-（x-1）2+（x-1）3-（x-1）4+（x-1）5的展开式中,x2的系数等于.

（18）已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那

（19）函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.

（20）如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:

V2＝.

[Key]二、填空题:

本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.7

（21）有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

[Key]三、解答题.

（21）本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.

解法一:

①

由②式得d=12-2a.③

整理得a2-13a+36=0

解得a1=4,a2=9.

代入③式得d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:

设四个数依次为x,y,12-y,16-x①

由①式得x=3y-12.③

将③式代入②式得y（16-3y+12）=（12-y）2,

整理得y2-13y+36=0.

解得y1=4,y2=9.

代入③式得x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

[Key]（22）本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:

由已知得

解法二:

如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,

sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有

解法三:

由题设得4（sinα+sinβ）=3（cosα+cosβ）.

将②式代入①式,可得sin（α-）=sin（-β）.

于是α－＝（2k+1）π-（-β）（k∈Z）,

或α-=2kπ+（-β）（k∈Z）.

若α-=（2k+1）π-（-β）（k∈Z）,则α＝β＋（2k+1）π（k∈Z）.

于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知α-=2kπ+（-β）（k∈Z）,

即α＋β＝2+2kπ（k∈Z）.

所以

（23）如图,在三棱锥SABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

[Key]（23）本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:

由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,

∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,

∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设SA＝a,

又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:

由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,

∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.

∵DE面BDE,DC面BDC,

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

以下同解法一.

（24）设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

[Key]（24）本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.

解法一:

设z＝x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

x2+2│x│=a.③

（Ⅰ）令x>0,方程③变为x2＋2x=a.④

.

由此可知:

当a=0时,方程④无正根;

（Ⅱ）令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤

.

由此可知:

当a=0时,方程⑤无负根;

当a>0时,方程⑤有负根

x=1-.

（Ⅲ）令x=0,方程③变为0=a.

由此可知:

当a=0时,方程⑥有零解x=0;

当a>0时,方程⑥无零解.

所以,原方程的实数解是:

当a=0时,z=0;

.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi（y≠0）.此时,①式化为

-y2+2│y│=a.⑦

（Ⅰ）令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即（y-1）2=1-a.⑧

由此可知:

当a>1时,方程⑧无实根.

当a≤1时解方程⑧得

y=1±,

从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;

当0

（Ⅱ）令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即（y+1）2=1-a.⑨

由此可知:

当a>1时,方程⑨无实根.

当a≤1时解方程⑨得y=-1±,

从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;

当0

所以,原方程的纯虚数解是:

当a=0时,z=±2i;

当0

而当a>1时,原方程无纯虚数解.

解法二:

设z=x+yi代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为

x2+2│x│=a.

即|x|2+2│x│=a.③

解方程③得

所以,原方程的实数解是

.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi（y≠0）.此时,①式化为

-y2+2│y│=a.

即-│y│2+2│y│=a.④

当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,

即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.

当0

即当0

.

而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.

解法三:

因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其

解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi（y≠0）.

情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.

情形2.若z=yi（y≠0）.以下同解法一或解法二中的情形2.

解法四:

设z=r（cosθ+isinθ）,其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得

r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a.

于是原方程等价于方程组

情形1.若r=0.①式变成

0=a.③

由此可知:

当a=0时,r=0是方程③的解.

当a>0时,方程③无解.

所以,当a=0时,原方程有解z=0;

当a>0时,原方程无零解.

考查r>0的情形.

（Ⅰ）当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为

r2+2r=a.④

.

由此可知:

当a=0时,方程④无正根;

当a>0时,方程④有正根.

所以,当a>0时,原方程有解.

（Ⅱ）当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为

-r2+2r=a,即（r-1）2=1-a,⑤

由此可知:

当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;

.

从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;

.

所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;

当0