单元评估验收二.docx
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单元评估验收二
单元评估验收
（二）
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2014，则序号n等于（ ）
A．667B．668C．669D．672
解析：
由2014＝1＋3（n－1）解得n＝672.
答案：
D
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则λ的值是（ ）
A．－2B．－1
C．0D．1
解析：
等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋n，
所以λ＝－1.
答案：
B
3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3·a11＝16，则a5等于（ ）
A．1B．2C．4D．8
解析：
因为a3·a11＝a
＝16，所以a7＝4，
所以a5＝
＝
＝1.
答案：
A
4．数列{an}的通项公式是an＝（n＋2）
，那么在此数列中（ ）
A．a7＝a8最大B．a8＝a9最大
C．有唯一项a8最大D．有唯一项a7最大
解析：
an＝（n＋2）
，
an＋1＝（n＋3）·
，
所以
＝
·
，
令
≥1，即
·
≥1，解得n≤7，
即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….
所以a7＝a8最大．
答案：
A
5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn（n≥1），则a6＝（ ）
A．3×44B．3×44＋1
C．44D．44＋1
解析：
由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn⇒Sn＋1＝4Sn，故数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，
故Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.
答案：
A
6．数列{（－1）n·n}的前2013项的和S2013为（ ）
A．－2013B．－1017
C．2013D．1007
解析：
S2013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2012－2013＝（－1）＋（2－3）＋（4－5）＋…＋（2012－2013）＝（－1）＋（－1）×1006＝－1007.
答案：
D
7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于（ ）
A．1或2B．1或－2
C．－1或2D．－1或－2
解析：
依题意有2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
所以q2－q－2＝0，（q－2）（q＋1）＝0.
所以q＝－1或q＝2.
答案：
C
8．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A．d＜0
B．a7＝0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：
由S5＜S6，得a6＝S6－S5＞0.
又S6＝S7⇒a7＝0，所以d＜0.
由S7＞S8⇒a8＜0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2（a7＋a8）＜0，即S9＜S5.
答案：
C
9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列
的前5项和为（ ）
A.
和5B.
和5C.
D.
解析：
由9S3＝S6＝S3＋q3S3，
又S3≠0，所以q3＝8，q＝2.
故an＝q·qn－1＝2n－1，所以
＝
，
所以
的前5项和S5＝
＝
.
答案：
C
10．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（－∞，6）B．（－∞，4]
C．（－∞，5）D．（－∞，3]
解析：
数列{an}的通项公式是关于n（n∈N*）的二次函数，若数列是递减数列，则－
≤1，即λ≤4.
答案：
B
11．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋（－1）n（n≥2，n∈N*），则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
由已知得a2＝1＋（－1）2＝2，
所以a3·a2＝a2＋（－1）3，所以a3＝
，
所以
a4＝
＋（－1）4，所以a4＝3，
所以3a5＝3＋（－1）5，所以a5＝
，
所以
＝
×
＝
.
答案：
C
12．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为（ ）
A．qB．12q
C．（1＋q）12D．（1＋q）12－1
解析：
设第一年第1个月的生产总值为1，公比为（1＋q），该厂一年的生产总值为S1＝1＋（1＋q）＋（1＋q）2＋…＋（1＋q）11.
则第2年第1个月的生产总值为（1＋q）12，
第2年全年生产总值S2＝（1＋q）12＋（1＋q）13＋…＋（1＋q）23＝（1＋q）12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为
＝
－1＝（1＋q）12－1.
答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．设{an}是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．
解析：
设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a（a－d）（a＋d）＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，
所以d＞0，即d＝2，所以a1＝2.
答案：
2
14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和，若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．
解析：
由题意知a1＋a3＝5，a1a3＝4，又{an}是递增数列，所以a1＝1，a3＝4，所以q2＝
＝4，q＝2代入等比求和公式得S6＝63.
答案：
63
15．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝______________．
解析：
当n＝1时，S1＝2a1－1，
所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2an－1）－（2an－1－1）；
所以an＝2an－1，经检验n＝1也符合．
所以{an}是等比数列．
所以an＝2n－1，n∈N*.
答案：
2n－1（n∈N*）
16．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），有下列三个命题：
①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；
②若Sn＝an（a为非零常数），则{an}是等比数列；
③若Sn＝1－（－1）n，则{an}是等比数列．
其中真命题的序号是________．
解析：
易知①是真命题，由等比数列前n项和Sn＝
＝
－
·qn知②不正确，③正确．
答案：
①③
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：
b6与数列{an}的第几项相等？
解：
（1）设等差数列{an}的公差为d.
因为a4－a3＝2，所以d＝2.
又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.
所以an＝4＋2（n－1）＝2n＋2（n＝1，2，…）．
（2）设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，
所以q＝2，b1＝4.
所以b6＝4×26－1＝128.
由128＝2n＋2得n＝63，
所以b6与数列{an}的第63项相等．
18．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5＝70，且a2，a7，a2成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列
的前n项和为Tn，求证：
≤Tn＜
.
（1）解：
因为数列{an}是等差数列，
所以an＝a1＋（n－1）d，Sn＝na1＋
d.
依题意，有
即
解得a1＝6，d＝4.
所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋2（n∈N*）．
（2）证明：
由
（1）可得Sn＝2n2＋4n.
所以
＝
＝
＝
（
－
）．
所以Tn＝
＋
＋
＋…＋
＋
＝
＋
＋
＋…＋
·
＋
＝
＝
－
.
因为Tn－
＝－
＜0，所以Tn＜
.
因为Tn＋1－Tn＝
＞0，所以数列{Tn}是递增数列，
所以Tn≥T1＝
.所以
≤Tn＜
.
19．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝1，前n项和为Sn，bn＝
.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}前n项和为Tn，求Tn.
解：
因为等差数列{an}中a1＝1，
公差d＝1.
所以Sn＝na1＋
d＝
.
所以bn＝
.
（2）bn＝
＝
＝2
，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝2
＝2
＝
.
20．（本小题满分12分）求数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n－1）an－1的前n项和．
解：
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝
＝n2.
当a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋（2n－3）an－2＋（2n－1）an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋（2n－3）an－1＋（2n－1）an，
两式相减，有：
（1－a）Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－（2n－1）an＝
1＋2
－（2n－1）an，
此时Sn＝
＋
.
综上，Sn＝
21．（本小题满分12分）等差数列{an}前n项和为Sn，已知S3＝a
，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
解：
设{an}的公差为d.
由S3＝a
，得3a2＝a
，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得S
＝S1S4.
又S1＝a1－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故（2a2－d）2＝（a2－d）（4a2＋2d）．
若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，
此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则（6－d）2＝（3－d）（12＋2d），
解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1（n∈N*）．
22．（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
（1）证明
是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明：
＋
＋…＋
＜
.
证明：
（1）由an＋1＝3an＋1得an＋1＋
＝
3
，所以
＝3，
所以
是等比数列，首项为a1＋
＝
，公比为3，
所以an＋
＝
·3n－1，
因此{an}的通项公式为an＝
（n∈N*）．
（2）由
（1）知：
an＝
，所以
＝
，
因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，
所以
≤
，
于是
＋
＋…＋
≤1＋
＋…＋
＝
＜
，
所以
＋
＋…＋
＜
.
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