功能关系 动量能量综合正式版Word格式文档下载.docx

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功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；

而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。

两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。

复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。

突出：

“功是能量转化的量度”这一基本概念。

⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：

W外=ΔEk，这就是动能定理。

⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：

WG=-ΔEP，这就是势能定理。

⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：

W其它=ΔE机，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。

⑷当W其它=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。

fd=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。

【例1】质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有

A.物体的重力势能增加了mgH

a

B.物体的动能减少了FH

C.物体的机械能增加了FH

D.物体重力势能的增加小于动能的减少

解析：

由以上三个定理不难得出正确答案是A、C

【例2】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。

其正上方A位置有一只小球。

小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。

小球下降阶段下列说法中正确的是

D

A．在B位置小球动能最大

B．在C位置小球动能最大

C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；

C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。

从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。

A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。

选B、C、D。

二、动量能量综合问题

我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。

它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。

解决力学问题离不开这三种解题思路。

在比较复杂的题目中，这三种手段往往是交替使用的。

下面举几个例题说明这一点。

【例3】如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。

下列说法正确的有

abc

A．它们同时到达同一水平面

B．重力对它们的冲量相同

C．它们的末动能相同

D．它们动量变化的大小相同

b、c飞行时间相同（都是）；

a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；

但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。

由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C也不对。

a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；

b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。

点评：

这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。

另外，在比较中以b为中介：

a、b的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；

b、c飞行时间相同（都等于自由落体时间），但初动能不同。

本题如果去掉b球可能更难做一些。

【例4】质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为P。

若司机突然减小油门使实际功率减为并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？

以后汽车将怎样运动？

解：

由公式F-f=ma和P=Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P=Fv，F将减半，合力变为，方向和速度方向相反，加速度大小为；

以后汽车做恒定功率的减速运动，F又逐渐增大，当增大到F=f时，a=0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。

这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。

B

【例5】质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。

求这过程弹簧的最大弹性势能EP和全过程系统摩擦生热Q各多少？

简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。

全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：

mv0=（m+M）v；

第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能EP恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以EP是全过程摩擦生热Q的一半。

又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔEK=Q=2EP

而，∴

f

至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：

刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；

弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；

以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；

B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。

【例6】海岸炮将炮弹水平射出。

炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。

当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？

两次发射转化为动能的化学能E是相同的。

第一次化学能全部转化为炮弹的动能；

第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，

这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。

要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关系；

要善于从能量守恒的观点（本题是系统机械能增量相同）来分析问题。

2v

【例7】质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ。

⑴试分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？

⑵为使B、C不相撞，A木板至少多长？

B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止。

这段时间为。

B刚好相对于A静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度，这段加速经历的时间为，最终A将以做匀速运动。

全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热，由能量守恒定律列式：

。

这就是A木板应该具有的最小长度。

本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B、C与A摩擦生热之比：

第一阶段B对A的位移就是对地的位移：

sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C对A的位移是其3倍：

sC=3v2/2μg；

第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/=4v2/9μg，相对于A位移是v2/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是dB=v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系统摩擦生热为μmg（dB+dC）=7mv2/3，dB∶dC=3∶11

v

【例8】质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。

动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。

到最终相对静止为止，摩擦生热多少？

车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。

根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：

当M>

m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；

当M=m时，显然最终共同速度为零，当M<

m时，相对静止时的共同速度必向右，再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能

【例9】一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。

现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。

稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。

每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。

已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。

这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。

求电动机的平均输出功率P。

电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。

摩擦生热可以由Q=fd求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程。

本题中设传送带速度一直是v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv2/2。

因此有W=mv2+mgh。

又由已知，在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，所以有，vT=NL，带入后得到。

【例10】用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v＝6m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：

在以后的运动中：

（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大?

（2）弹性势能的最大值是多大?

（3）A的速度有可能向左吗?

为什么?

（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.

由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，（mA+mB）v＝（mA+mB+mC）vA′

解得vA′=m/s=3m/s

（2）B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则

mBv=（mB+mC）v′v′==2m/s

设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep，

根据能量守恒Ep=（mB+mC）+mAv2-（mA+mB+mC）

=×

（2+4）×

22+×

2×

62-×

（2+2+4）×

32=12J

（3）A不可能向左运动

系统动量守恒，mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB

设A向左，vA＜0，vB＞4m/s

则作用后A、B、C动能之和

E′=mAvA2+（mB+mC）vB2＞（mB+mC）vB2=48J

实际上系统的机械能

E=Ep+（mA+mB+mC）·

=12+36=48J

根据能量守恒定律，＞E是不可能的

【例11】如图所示，滑块A的质量m＝0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2m，线长分别为L1、L2、L3…（图中只画出三只小球，且小球可视为质点），开始