高中数学竞赛培优专题辅导极限与导数Word格式文档下载.docx

高中数学竞赛培优专题辅导极限与导数Word格式文档下载.docx

《高中数学竞赛培优专题辅导极限与导数Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛培优专题辅导极限与导数Word格式文档下载.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

f（x）在点x0处导数（x0）等于曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：

（1）=0（c为常数）；

（2）（a为任意常数）；

（3）（4）;

（5）;

（6）;

（7）；

（8）

7．导数的运算法则：

若u（x）,v（x）在x处可导，且u（x）≠0,则

（1）；

（2）；

（3）（c为常数）；

（4）；

（5）。

8．复合函数求导法：

设函数y=f（u）,u=（x），已知（x）在x处可导，f（u）在对应的点u（u=（x））处可导，则复合函数y=f[（x）]在点x处可导，且（f[（x）]=.

9.导数与函数的性质：

（1）若f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上连续；

（2）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递增；

（3）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递减。

10．极值的必要条件：

若函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则

11.极值的第一充分条件：

设f（x）在x0处连续，在x0邻域（x0-δ,x0+δ）内可导，

（1）若当x∈（x-δ,x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若当x∈（x0-δ，x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：

设f（x）在x0的某领域（x0-δ,x0+δ）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。

（1）若，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若，则f（x）在x0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：

若函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b），则存在ξ∈（a,b），使

[证明]若当x∈（a,b），f（x）≡f（a），则对任意x∈（a,b），.若当x∈（a,b）时，f（x）≠f（a），因为f（x）在[a,b]上连续，所以f（x）在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f（a），不妨设最大值m>

f（a）且f（c）=m，则c∈（a,b），且f（c）为最大值，故，综上得证。

14．Lagrange中值定理：

若f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则存在ξ∈（a,b），使

[证明]令F（x）=f（x）-,则F（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且F（a）=F（b），所以由13知存在ξ∈（a,b）使=0，即

15．曲线凸性的充分条件：

设函数f（x）在开区间I内具有二阶导数，

（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f（x）在I内是下凸的；

（2）如果对任意x∈I,,则y=f（x）在I内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：

设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。

（1）若f（x）是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f（a1x1+a2x2+…+anxn）≤a1f（x1）+a2f（x2）+…+anf（xn）.

二、方法与例题

1．极限的求法。

例1求下列极限：

（3）；

（4）

[解]

（1）=；

（2）当a>

1时，

当0<

a<

1时，

当a=1时，

（3）因为

而

所以

例2求下列极限：

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）（|x|<

1）；

（3）。

[解]

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）

=

（2）

（3）

2．连续性的讨论。

例3设f（x）在（-∞,+∞）内有定义，且恒满足f（x+1）=2f（x），又当x∈[0,1）时，f（x）=x（1-x）2，试讨论f（x）在x=2处的连续性。

[解]当x∈[0,1）时，有f（x）=x（1-x）2，在f（x+1）=2f（x）中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2）时，利用f（x+1）=2f（x）有f（t）=2f（t-1），因为t-1∈[0,1）,再由f（x）=x（1-x）2得f（t-1）=（t-1）（2-t）2,从而t∈[1,2）时,有f（t）=2（t-1）•（2-t）2；

同理，当x∈[1,2）时，令x+1=t，则当t∈[2,3）时，有f（t）=2f（t-1）=4（t-2）（3-t）2.从而f（x）=所以

所以

，所以f（x）=f（x）=f

（2）=0，所以f（x）在x=2处连续。

3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

[解]因为点（2,0）不在曲线上，设切点坐标为（x0,y0），则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。

又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-（x-2），即x+y-2=0.

4．导数的计算。

例5求下列函数的导数：

（1）y=sin（3x+1）；

（3）y=ecos2x；

（5）y=（1-2x）x（x>

0且）。

[解]

（1）3cos（3x+1）.

（2）

（5）

5．用导数讨论函数的单调性。

例6设a>

0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0,+∞））的单调区间。

[解]，因为x>

0,a>

0，所以x2+（2a-4）x+a2>

0；

x2+（2a-4）x+a+<

0.

（1）当a>

1时，对所有x>

0，有x2+（2a-4）x+a2>

0，即（x）>

0,f（x）在（0,+∞）上单调递增；

（2）当a=1时，对x≠1,有x2+（2a-4）x+a2>

0，即，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f（x）在x=1处连续，因此f（x）在（0,+∞）内递增；

（3）当0<

1时，令，即x2+（2a-4）x+a2>

0，解得x<

2-a-或x>

2-a+，因此，f（x）在（0,2-a-）内单调递增，在（2-a+,+∞）内也单调递增，而当2-a-<

x<

2-a+时，x2+（2a-4）x+a2<

0，即，所以f（x）在（2-a-,2-a+）内单调递减。

6．利用导数证明不等式。

例7设，求证：

sinx+tanx>

2x.

[证明]设f（x）=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0<

cosx<

1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f（x）在上连续，所以f（x）在上单调递增，所以当x∈时，f（x）>

f（0）=0，即sinx+tanx>

7.利用导数讨论极值。

例8设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

[解]因为f（x）在（0,+∞）上连续，可导，又f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得

所以.

所以当x∈（0,1）时，，所以f（x）在（0,1]上递减；

当x∈（1,2）时，，所以f（x）在[1，2]上递增；

当x∈（2,+∞）时，，所以f（x）在[2，+∞）上递减。

综上可知f（x）在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。

例9设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值。

[解]首先，当x∈[0,π],y∈[0,1]时，

f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x=（1-y）2x=（1-y）2x，令g（x）=,

当时，因为cosx>

0,tanx>

x，所以；

当时，因为cosx<

0,tanx<

0,x-tanx>

0，所以；

又因为g（x）在（0,π）上连续，所以g（x）在（0,π）上单调递减。

又因为0<

（1-y）x<

π，所以g[（1-y）x]>

g（x），即，

又因为，所以当x∈（0,π）,y∈（0,1）时，f（x,y）>

其次，当x=0时，f（x,y）=0；

当x=π时，f（x,y）=（1-y）sin（1-y）π≥0.

当y=1时，f（x,y）=-sinx+sinx=0；

当y=1时，f（x,y）=sinx≥0.

综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f（x,y）取最小值0。

三、基础训练题

1．=_________.

2．已知，则a-b=_________.

3．_________.

4．_________.

5．计算_________.

6．若f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，且存在，则_________.

7．函数f（x）在（-∞,+∞）上可导，且，则_________.

8．若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.

9．函数f（x）=x-2sinx的单调递增区间是_________.

10．函数的导数为_________.

11．若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.

12.求sin290的近似值。

13．设0<

b<

求证：

四、高考水平练习题

1．计算=_________.

2．计算_________.

3．函数f（x）=2x3-6x2+7的单调递增区间是_________.。

4．函数的导数是_________.

5．函数f（x）在x0邻域内可导，a,b为实常数，若，则_________.

6．函数f（x）=ex（sinx+cosx）,x的值域为_________.

7．过抛物线x2=2py上一点（x0,y0）的切线方程为_________.

8．当x>

0时，比较大小：

ln（x+1）_________x.

9.函数f（x）=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________.

10．曲线y=e-x（x≥0）在点M（t,e-t）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为_________.

11．若x>

0，求证：

（x2-1）lnx≥（x-1）2.

12．函数y=f（x）在区间（0,+∞）内可导。

导函数是减函数，且>

0，x0∈（0,+∞）.y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程，另设g（x）=kx+m，

（1）用x0,f（x0）,表示m；

（2）证明：

当x∈（0,+∞）时，g（x）≥f（x）；

（3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在（0,+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+,证明：

xn≤1（n∈N+）.

五、联赛一试水平训练题

1．设Mn={（十进制）n位纯小数0•只取0或