高中数学竞赛培优专题辅导极限与导数Word格式文档下载.docx

1、f（x）在点x0处导数（x0）等于曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0）处切线的斜率。6几个常用函数的导数：（1）=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；（3）（4）;（5）;（6）;（7）；（8）7导数的运算法则：若u（x）,v（x）在x处可导，且u（x）0,则（1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。8复合函数求导法：设函数y=f（u）,u= （x），已知（x）在x处可导，f（u）在对应的点u（u= （x）处可导，则复合函数y=f（x）在点x处可导，且（f（x） =.9.导数与函数的性质：（1）若f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上连续；（2）若对一切x（a,b）有，则f

2、（x）在（a,b）单调递增；（3）若对一切x（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递减。10极值的必要条件：若函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则11.极值的第一充分条件：设f（x）在x0处连续，在x0邻域（x0-,x0+）内可导，（1）若当x（x-,x0）时，当x（x0,x0+）时，则f（x）在x0处取得极小值；（2）若当x（x0-，x0）时，当x（x0,x0+）时，则f（x）在x0处取得极大值。12极值的第二充分条件：设f（x）在x0的某领域（x0-,x0+）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f（x）在x0处取得极小值；（2）若，则f（x）在x0处取得极大值。

3、13罗尔中值定理：若函数f（x）在a,b上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b），则存在（a,b），使证明 若当x（a,b），f（x）f（a），则对任意x（a,b），.若当x（a,b）时，f（x）f（a），因为f（x）在a,b上连续，所以f（x）在a,b上有最大值和最小值，必有一个不等于f（a），不妨设最大值mf（a）且f（c）=m，则c（a,b），且f（c）为最大值，故，综上得证。14Lagrange中值定理：若f（x）在a,b上连续，在（a,b）上可导，则存在（a,b），使证明 令F（x）=f（x）-,则F（x）在a,b上连续，在（a,b）上可导，且F（a）=F（b），所以由13知

4、存在（a,b）使=0，即15曲线凸性的充分条件：设函数f（x）在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意xI, ,则曲线y=f（x）在I内是下凸的；（2）如果对任意xI, ,则y=f（x）在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f（x）是a,b上的凸函数，则x1,x2,xna,b有f（a1x1+a2x2+anxn）a1f（x1）+a2f（x2）+anf（xn）.二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（3）；（4）解（1）=；（2）当a1时， 当0a1时，当a=1时， （3）因为而所以例2 求下列极限：（1）（1

5、+x）（1+x2）（1+）（1+）（|x|0且）。解 （1）3cos（3x+1）.（2） （5）5用导数讨论函数的单调性。例6 设a0，求函数f（x）= -ln（x+a）（x（0,+）的单调区间。解 ，因为x0,a0，所以x2+（2a-4）x+a20； x2+（2a-4）x+a+1时，对所有x0，有x2+（2a-4）x+a20，即（x）0,f（x）在（0,+）上单调递增；（2）当a=1时，对x1,有x2+（2a-4）x+a20，即，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）内递增，又f（x）在x=1处连续，因此f（x）在（0,+）内递增；（3）当00，解得x2-a+，因此，f（x）在（0

6、,2-a-）内单调递增，在（2-a+,+）内也单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+（2a-4）x+a22x.证明 设f（x）=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0cosxf（0）=0，即sinx+tanx7.利用导数讨论极值。例8 设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。解 因为f（x）在（0,+）上连续，可导，又f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以当x（0,1）时，所以f（x）在（0,1上递减；当x（1,2）时，

7、所以f（x）在1，2上递增；当x（2,+）时，所以f（x）在2，+）上递减。综上可知f（x）在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。例9 设x0,y0,1，试求函数f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值。解 首先，当x0,y0,1时，f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x=（1-y）2x=（1-y）2x，令g（x）=,当时，因为cosx0,tanxx，所以；当时，因为cosx0,tanx0，所以；又因为g（x）在（0,）上连续，所以g（x）在（0,）上单调递减。又因为0（1-y）xg（x），即，又因为，所以当x（0,）,y（0

8、,1）时，f（x,y）其次，当x=0时，f（x,y）=0；当x=时，f（x,y）=（1-y）sin（1-y）0.当y=1时，f（x,y）=-sinx+sinx=0；当y=1时，f（x,y）=sinx0.综上，当且仅当x=0或y=0或x=且y=1时，f（x,y）取最小值0。三、基础训练题1 =_.2已知，则a-b=_.3 _.4 _.5计算_.6若f（x）是定义在（-,+）上的偶函数，且存在，则_.7函数f（x）在（-,+）上可导，且，则_.8若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_.9函数f（x）=x-2sinx的单调递增区间是_.10函数的导数为_.11若

9、曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.12.求sin290的近似值。13设0b0时，比较大小：ln（x+1） _x.9.函数f（x）=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值为_，最小值为_.10曲线y=e-x（x0）在点M（t,e-t）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为_.11若x0，求证：（x2-1）lnx（x-1）2.12函数y=f（x）在区间（0,+）内可导。导函数是减函数，且0，x0（0,+）.y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0,f（x0）处的切线方程，另设g（x）=kx+m，（1）用x0,f（x0）,表示m；（2）证明：当x（0,+）时，g（x）f（x）；（3）若关于x的不等式x2+1ax+b在（0,+）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。13.设各项为正的无穷数列xn满足lnxn+,证明：xn1（nN+）.五、联赛一试水平训练题1设Mn=（十进制）n位纯小数0只取0或