高考数学一轮复习 第六篇 数列 第2讲 等差数列及其前n项和教案 理 新人教版Word下载.docx

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（4）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

（5）S2n－1＝（2n－1）an.

（6）若n为偶数，则S偶－S奇＝

；

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中（中间项）．

5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝

，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋

d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝

n2＋

n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）．

7．最值问题

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．

一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①

Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②

①＋②得：

.

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….

（2）若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法

等差数列的判断方法

（1）定义法：

对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；

（2）等差中项法：

验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）都成立；

（3）通项公式法：

验证an＝pn＋q；

（4）前n项和公式法：

验证Sn＝An2＋Bn.

注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于（　　）．

A．4B．5C．6D．7

解析　a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.

答案　C

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于

（　　）．

A．31B．32C．33D．34

解析　由已知可得

解得

∴S8＝8a1＋

d＝32.

答案　B

3．（xx·

江西）已知数列{an}的前n项和Sn满足：

Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝（　　）．

A．1B．9C．10D．55

解析　由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.

答案　A

4．（xx·

杭州质检）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（　　）．

A．13B．35C．49D．63

解析　∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14，∴S7＝

＝49.

5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.

解析　设公差为d.

则a5－a2＝3d＝6，

∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.

答案　13　　

考向一　等差数列基本量的计算

【例1】►（xx·

福建）在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

[审题视点]第

（1）问，求公差d；

第

（2）问，由

（1）求Sn，列方程可求k.

解　

（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.

由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.

解得d＝－2.从而，an＝1＋（n－1）×

（－2）＝3－2n.

（2）由

（1）可知an＝3－2n.

所以Sn＝

＝2n－n2.

进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.

即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.

又k∈N*，故k＝7为所求．

等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之．如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以．体现了用方程思想解决问题的方法．

【训练1】（xx·

湖北）《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝

，a1＝

，所以a5＝a1＋4d＝

＋4×

＝

答案　

考向二　等差数列的判定或证明

【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·

Sn－1＝0（n≥2），a1＝

（1）求证：

是等差数列；

（2）求an的表达式．

[审题视点]

（1）化简所给式子，然后利用定义证明．

（2）根据Sn与an之间关系求an.

（1）证明　∵an＝Sn－Sn－1（n≥2），又an＝－2Sn·

Sn－1，

∴Sn－1－Sn＝2Sn·

Sn－1，Sn≠0，∴

－

＝2（n≥2）．

由等差数列的定义知

是以

＝2为首项，以2为公差的等差数列．

（2）解　由

（1）知

＋（n－1）d＝2＋（n－1）×

2＝2n，

∴Sn＝

.当n≥2时，有an＝－2Sn×

Sn－1＝－

，

又∵a1＝

，不适合上式，∴an＝

等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．

【训练2】已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.

（1）求Sn；

（2）证明：

数列{an}是等差数列．

（1）解　设Sn＝An2＋Bn＋C（A≠0），则

解得：

A＝2，B＝－4，C＝0.

∴Sn＝2n2－4n.

（2）证明　当n＝1时，a1＝S1＝－2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2（n－1）2－4（n－1）]

＝4n－6.

∴an＝4n－6（n∈N*）．

当n＝1时符合上式，故an＝4n－6，

∴an＋1－an＝4，

∴数列{an}成等差数列．

考向三　等差数列前n项和的最值

【例3】►设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

[审题视点]第

（1）问：

列方程组求a1与d；

第

（2）问：

由

（1）写出前n项和公式，利用函数思想解决．

解　

（1）由an＝a1＋（n－1）d及a3＝5，a10＝－9得

可解得

数列{an}的通项公式为an＝11－2n.

（2）由

（1）知，Sn＝na1＋

d＝10n－n2.

因为Sn＝－（n－5）2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．

求等差数列前n项和的最值，常用的方法：

（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．

（2）利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值．

【训练3】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

解　法一　∵a1＝20，S10＝S15，

∴10×

20＋

d＝15×

d，

∴d＝－

∴an＝20＋（n－1）×

＝－

n＋

∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×

×

＝130.

法二　同法一求得d＝－

∴Sn＝20n＋

·

n

2＋

∵n∈N*，

∴当n＝12或13时，Sn有最大值，

且最大值为S12＝S13＝130.

法三　同法一得d＝－

又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.

∴5a13＝0，即a13＝0.

考向四　等差数列性质的应用

【例4】►设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180（n＞6），求数列的项数n.

[审题视点]在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*）用此性质可优化解题过程．

解　由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180②

①＋②得（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（a6＋an－5）＝6（a1＋an）＝216.

∴a1＋an＝36.又Sn＝

＝324，

∴18n＝324.

∴n＝18.

本题的解题关键是将性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq与前n项和公式Sn＝

结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．

【训练4】

（1）设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N＋），则a1＋a2＋…＋a17＝________.

（2）等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．

解析　

（1）∵an＋1－an＝2，∴{an}为等差数列．

∴an＝－7＋（n－1）·

2，∴a17＝－7＋16×

2＝25，

S17＝

＝153.

（2）由已知可得（a1＋a2＋a3）＋（a18＋a19＋a20）＝－24＋78⇒（a1＋a20）＋（a2＋a19）＋（a3＋a18）＝54⇒a1＋a20＝18⇒S20＝

20＝

20＝180.

答案　

（1）153　

（2）180　　

阅卷报告6——忽视an与Sn中的条件n≥2而致误

【问题诊断】在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：

an＝\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2.））这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.

【防范措施】由an＝Sn－Sn－1求出an后，一定不要忘记验证n＝1是否适合an.

【示例】►（xx·

安徽改编）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．

错因　求an、