中考数学专题复习 新定义二次函数问题 含答案Word格式.docx

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（2）若抛物线y=ax2+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值；

（3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：

y=x2﹣4x+4和直线l：

y=kx﹣2k（k＞0）．

（1）抛物线C的顶点D的坐标为　　；

（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；

（3）记函数y=的图象为G，点M（0，t），过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当1＜t＜3时，若存在t使得x1+x2=4成立，结合图象，求k的取值范围．

4．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：

满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：

当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；

当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？

请判断并说明理由；

（2）如果已知二次函数y=x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；

（3）如果

（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．

5．若抛物线L：

y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”．

（1）若“路线”l的表达式为y=2x﹣4，它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1，求“带线”L的表达式；

（2）如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（3）设

（2）中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A．已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标．

6．在平面直角坐标系中，规定：

抛物线y=a（x﹣h）2+k的关联直线为y=a（x﹣h）+k．

例如：

抛物线y=2（x+1）2﹣3的关联直线为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．

（1）如图，对于抛物线y=﹣（x﹣1）2+3．

①该抛物线的顶点坐标为　　，关联直线为　　，该抛物线与其关联直线的交点坐标为　　和　　；

②点P是抛物线y=﹣（x﹣1）2+3上一点，过点P的直线PQ垂直于x轴，交抛物线y=﹣（x﹣1）2+3的关联直线于点Q．设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d（d＞0），求当d随m的增大而减小时，d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

（2）顶点在第一象限的抛物线y=﹣a（x﹣1）2+4a与其关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，连结AC、BC．

①求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．

②当△ABC为钝角三角形时，直接写出a的取值范围．

7．已知：

抛物线C1：

y=﹣（x+m）2+m2（m＞0），抛物线C2：

y=（x﹣n）2+n2（n＞0），称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：

y=﹣（x+1）2+1与抛物线C2：

y=（x﹣）2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D．

（1）已知抛物线①y=﹣x2﹣2x，②y=（x﹣3）2+3，③y=（x﹣）2+2，④y=x2﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是　　（请在横线上填写抛物线的数字序号）；

（2）如图1，当m=1，n=2时，证明AC=BD；

（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO=∠BDC．

①求证：

四边形ACBD是菱形；

②若已知抛物线C2：

y=（x﹣2）2+4，请求出m的值．

8．定义：

对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；

当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：

一次函数y=x﹣1，它们的相关函数为y=．

（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；

（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．

①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；

②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．

9．定义：

在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）①点A（1，3）的“坐标差”为　　；

②抛物线y=﹣x2+3x+3的“特征值”为　　；

（2）某二次函数y=x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．

①直接写出m=　　；

（用含c的式子表示）

②求此二次函数的表达式．

（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，以M（2，3）为圆心，2为半径的圆与直线y=x相交于点D、E，请直接写出⊙M的“特征值”为　　．

10．如图①所示，双曲线y=（k≠0）与抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A，B，C三点，已知B（4，2），C（﹣2，﹣4），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°

？

若存在，请求出满足条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）如图②所示，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点P，求的值．

参考答案与试题解析

（1）点（3，2）的“绝对点”的坐标为　（3，1）　．

【分析】

（1）根据“绝对点”的定义求解可得；

（2）设点P的坐标为（m，n）．若m≥n，则P′的坐标为（m，m﹣n），根据P与P′重合知n=m﹣n，由4m﹣1=n求得m、n的值可得；

若m＜n，同上的方法即可得出结论；

（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b），由Q′是函数y=2x2的图象上一点知a﹣b=2a2，即b=a﹣2a2．可得QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，利用二次函数的图象和性质求出其最大值；

当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a），知QQ′=|b﹣b+a|=|a|，显然可得其最值．

【解答】解：

（1）∵3＞2，

∴点（3，2）的“绝对点”的纵坐标为3﹣2=1，

则点（3，2）的“绝对点”的坐标为（3，1），

故答案为：

（3，1）．

（2）设点P的坐标为（m，n）．

当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．

若P与P′重合，则n=m﹣n，

∵点P是函数y=4x﹣1的图象上的一点，

∴4m﹣1=n，

∴n=．

即P的坐标为（，）．

当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．

若P与P′重合，则n﹣m=n

∴m=0．

∴n=﹣1，（不符合m＜n，舍）

综上所述，点P的坐标为（，）；

（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．

因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，

所以a﹣b=2a2．

即b=a﹣2a2．

QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，

其函数图象如图所示：

．

由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．

当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．

QQ′=|b﹣b+a|=|a|=a．

当a=2时，QQ′的最大值为2．

综上所述，QQ′的最大值为14或2．

【点评】本题二次函数的综合题，主要考查了“绝对点”的定义及二次函数的图象和性质、两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．

（1）抛物线y=x2的“直观三角形”是　B　．

（1）先确定出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标，进而求出AD，BD，即可判断出抛物线的“直观三角形”；

（2）根据抛物线的“直观三角形”是直角三角形建立方程求解即可；

（3）先判断出△ABE是等边三角形，即可求出AH，BE，EH，最后用待定系数法求出抛物线解析式．

（1）设抛物线y=x2﹣2x与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，

∴A（0，0），B（2，0），D（，﹣3），

∴AD=BD=2，AB=2，

∴AB=AD=BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴抛物线y=x2﹣2x对应的“直观三角形”是等边三角形，

B；

（2）设抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，

∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），

∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a对应的“直观三角形”是直角三角形，

∴AB2=AD2+BD2，

∴16=4+16a2+4+16a2，

∴a=±

；

（3）如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE=CE=OE=BE，

∴S△ABE=S矩形ABCD=×

12=3，

∵△ABE是抛物线的“直观三角形”，

根据抛物线的对称性得，AE=AB，

∴AE=AB=BE，

∴△ABE是等边三角形，

过点A作AH⊥BE，

∴AH=ABsin∠ABE=AB=BE，

∴BE2=3，

∴BE=2，

∴AH=3，EH=，

∴A（3，3），E（2