暑假平面几何讲义四点共圆教师版Word格式文档下载.docx

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对称点,易知≌,≌,于是,

所以≌,得到,进而.

证明

（二）作外接圆交延长线于,可知,得到∽,所以∽,得到,

所以.

例2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）是内一点，点在上，且,.则

证明先证明,过作垂线交分别于，直线交于,取中点,易知四点共圆，四点共圆，所以

（1）,（是的内角），因为，所以,于是,易知四点共圆，圆心是，,所以,进而，得到是中垂线，所以，

（1）得

下面我们证明，因为

两式相除得

因为所以，

证明

（二）在取,使得,所以∽,进而得到

∽,易知四点共圆，

所以

例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答

已知，是底边上任一点，是形内一点，满足，。

求证：

。

证明作外接圆交分别于，易知∽,所以∽，所以

（1）,易知∽,进而得到∽,所以

（2）,易知四点共圆，所以,所以

,所以,进而根据

（1）、

（2）得到。

例4、已知是锐角三角形，是边上中线，是垂心，于点，求证

证明

（一）：

延长到使得,易知四边形是平行四边形，因为

，,所以,得到，所以四点共圆

证明

（二）,所以是⊙切线，所以,

所以∽,得到,所以四点共圆

第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999

例5、已知在中，,点在内部，点是中点，.

求证.

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设,,

,,,因为,可知，可知,

（1），,可知得到

（2），根据

（1）、

（2）得，即。

证明

（二）（文武光华数学工作室潘成华给出）延长

交以为圆心，为半径的圆于,直线交于,

,因此,于是在⊙上，

∽,所以∽,可知,

即,得证

例6、已知是边中点，交外接圆⊙于,

过点作交⊙于,在上取点,使得.

求证

证明

（一）（文武光华数学工作室南京潘成华）因为,点是中点，所以是调和四边形，易知直线、过点切线共点，得到平分,,因此是旁心，进而.

证明

（二）因为是边中点，所以,得到,易知

是等腰梯形，所以,根据托勒密定理可知

得到，,

所以∽，所以,可知,取中点,同理可得

所以与交点设为,则为中点，所以

于是

证明（三）（田开斌老师）作交于，所以,,

所以

四点共圆，因为,所以

例7、已知是角平分线交于，外心分别是

求证

证明易知

，,所以

（1），又

，于是，所以

四点共圆，根据

（1）得到

证明

（二）记三角，设直线交于，

同理·

所以，，

所以四点共圆得到

例8、已知⊙、⊙交于,四边形是平行四边形，在⊙上，交于,直线交⊙于.

求证四点共圆

证明延长交⊙于点,连接，易知是等腰梯形，是等腰梯形，,所以四点共圆，因此

五点共圆,进而四点共圆

例9、已知分别是外心，内心，求证的充要条件是,

证明延长AI交圆O于D,根据托勒密定理，AB•DC+AC•BD

=AD•BC

（1）,因为OI⊥AI，所以AI=ID,由

（1）得：

（AB+AC）•BD=BC•2DI,因为∠BID=∠IBD,于是BD=DI,

所以AB+AC=2BC

此题，若O，I分别是△ABC外心，内心，AB+AC=2BC，

求证OI⊥AI

证明方法是一样的

例10、为外接圆上一点，在上的射影为.点分别是中点。

证明.

证明取中点，连接,易知∽，所以,

所以,可知∽,所以

第十题、已知是边中点，交外接圆⊙于,

例11、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）⊙、⊙外切于,⊙弦切⊙于,点是延长线上一点,

求证充要条件是.（2014688：

49于镇江大港中学）

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）过作两圆公切线交于,

线段交于,等价于,等价于,因为,得到,因此，等价于,等价于

即

例12、刚才看了一下2014年第5期《中等数学》数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下

已知是锐角的垂心，以为直径的圆交外接圆于,直线交于,直线交于,

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设外接圆为⊙,

直线交⊙于,所以共线，延长交于点,易知四点共圆，所以,所以,同理,

所以是平行四边形，得到是中点，连接交⊙于,

因为,可知共线，所以是中位线，

得到平行且相等，所以是中点，可知

例13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设周长为，，求证的旁切圆与外接圆外切。

（2014-6-128：

56）

证明设的旁切圆切直线于,交外接圆于,直线交的旁切圆于,,所以∽,所以,所以点在外接圆外接圆上，因为是

中点，所以点是两圆的切点，即的旁切圆与外接圆外切。

例14、于，是垂心，外心，交于，

证明

（一）延长交⊙于,延长交于,根据蝴蝶定理可知,根据鸭爪定理可知,所以,等腰.

证明

（二）在取使得,所以,设交于,

根据等角共轭点性质，可知,又

可知四点共圆，可知

例15、第47届预选，2006年

如图，在梯形中，,,点分别在线段上，且,分别在直线上，且,.

求证四点共圆

证明

（一）因为，易知共点，设为,

设交圆⊙于,,因此

是圆⊙切线，,所以,

所以,因此四点共圆

证明

（二）（文武光华数学工作室潘成华）因为（AK/KB）=（DL/LC）,AB//CD,根据

位似知识可知AD、QL、BC的延长线共点，设为E,过点L作LX//AP交AD

于X,作LY//PB交BC于Y,因此XY//AB,设XL、DQ交于S,LY、QC交于T,

根据Menelaus定理可知（XS/SL）=（XD/DE）*（EQ/LQ）=（YC/CE）*（EQ/LQ）=（YT/TL）,于是ST//XY,

∠SQT+∠SLT=∠DAB+ADC=180°

所以L、S、Q、T四点共圆，

易知∠SQL=∠STL=XYL=∠ABP=180°

-∠APB-∠BAP=180°

-∠ADC-∠BAP

∠DAP,进而A,D,P,Q四点共圆

例16、2012年西部数学奥林匹克几何题

已知外心、垂心分别是、,于,

中垂线交延长线于.求证外接圆过中点.

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取、中点,根据欧拉定理可知,所以,所以,又易知,所以,因此是等腰梯形，可知四点共圆，因为四点共圆，所以在外接圆上,即外接圆过中点.

例17、已知两同心圆，从大圆上一点作切小圆于,

直线交大圆于.求证

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设两圆圆心,

延长交分别交大圆于,所以是中位线，

,所以∽,

所以,所以,结论等价于，等价于

因为得证

例18、（2004年日本数学奥林匹克几何题）

已知如图，点分别是上两点，且过点分别作的平行线交过点作外接圆的切线分别于,延长直线交外接圆于

求证

（1）四点共圆，

（2）是⊙切线

证明因为,,因为，所以直线交点必在上设为,,所以四点共圆，同理四点共圆因此四点共圆同理四点共圆，于是四点共圆，,所以是⊙切线

例19、已知分别是圆⊙两切线、是切点，平分,交于,切⊙于,交延长线于.

求证

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）连接交于,交于,设线段交⊙于，易知分别是中点，共线，根据配位中线知识可知,所以,又,所以,进而,又∽,

得到,即.

证明

（二）,

所以∽,,所以

所以∽,可知

于是,得到,下面同证法

（一）

例20、回答广州陈泽桐老师几何题

已知⊙是的旁切圆，是切点，点是延长线上一点，

交于.

则的充要条件是

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设交于,延长线交直线于,交直线于点,三角形三角,根据定理,所以,,=所以四点共圆，可知,可知,根据定理,,所以,,

成立的充要条件是

（1），,等价于,即根据

（1）结论成立

例21、已知：

自⊙外一点作切线及割线，自作的平行线，分别交于。

。

证明：

联结O，作于。

由垂径定理知。

由，得都在以为直径的圆上，

即四点共圆，∴。

而，得由此，推出四点共圆。

得而，故，

∴。

在中，由中位线逆定理即得。

例22、已知为⊙上一点，为圆外一点，分别与⊙相切于，于，分别交于。

设交⊙于，联结交于。

则垂直平分，即是中点。

联。

由，得∽，

于是，由此，得四点共圆，

于是，∴。

因是中点，故也是中点，

即。

证毕

例23、已知是⊙切线，是切点，是割线，交于,直线交于,求证（2013111121:

30）

证明作于,延长于,易知五点共圆，可知

所以四点

共圆，于是,于是A,易知,

所以,进而根据相似知识可知.

例24、是等边三角形，,,连接,取中点,

证明（田开斌给出）延长到,使得,,所以,所以,于是,∽,可知,因为，所以

证明

（二）上海-leenco林可先生证明：

作等边三角形,连接交延长线于

连接,所以是外心，,

≌所以,得到

四点共圆，于是,得到

夹角，可知,所以,

于是,,

所以,易知,得到，进而

例25、已知中，是垂心，外心，交于,交于,求证.

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）取BC中点M,

连接OM,AH、DE,设AH、DE交于点N,连接ON,HM,

∠BHC=180°

-∠BAC=∠ADH,∠HAD=∠CBH,所以△AHD

∽△BCH,于是△HDN∼△CHN,进而∠HND=∠CMH,

根据Euler定理，四边形ONHM是平行四边形，得到∠ONH

=∠OMH,所以∠OND=∠OMC=90°

所以OE=OD.

例26、已知四边形是⊙内接四边形，且,交于点,点分别是外心.

求证平分

证明（文武光华数学工作室南京潘成华）∠BAI=∠HAD,

所以∠IAH=∠BAD,（AB/2AI）=sin∠AJB=sin∠AJD=（AD/2AH）,可知（AI/AH）=（AB/AD）

（1）,

所以△AIH∼△ABD,∠AIO=90°

+∠BAI=90°

+90°

-∠AJB=∠BJC,∠AIO=∠ABD=∠ACB,

所以∠IAO=∠DBC,同理∠HAO=∠BDC,设AO、JH交于点M,

即证明IM=MH,也就是AIsin∠IAO=AHsin∠HAO,

等价于（AI/AH）=（sin∠HAO/sin∠IAO）=（sin∠CDB/sin∠CBD）=（CB/CD）,因为（AB/AD）=（BC/CD），

根据

（1）结论显然成立

例27、已知⊙是外接圆，是边中垂线所在的弦，,交分别于.

求证

明（苏州学生方法）过M作ML⊥AC于L,MX⊥AB于X,，根据Simson线可知：

L、X、D