高考数学之三角函数知识点总结.doc

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三角函数

一、基础知识

定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

角的大小是任意的。

定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。

360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。

定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，

定理1同角三角函数的基本关系式，

倒数关系：

tanα=,商数关系：

tanα=；

乘积关系：

tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：

sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.

定理2诱导公式（Ⅰ）sin（α+π）=-sinα,cos（π+α）=-cosα,tan（π+α）=tanα;

（Ⅱ）sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan（-α）=-tanα;

（Ⅲ）sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan=（π-α）=-tanα;（

Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。

单调区间：

在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：

当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。

对称性：

直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。

这里k∈Z.

定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx（x∈R）的性质。

单调区间：

在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。

最小正周期为2π。

奇偶性：

偶函数。

对称性：

直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。

有界性：

当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。

值域为[-1，1]。

这里k∈Z.

定理5正切函数的性质：

由图象知奇函数y=tanx（xkπ+）在开区间（kπ-,kπ+）上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。

函

数

性

质

图象

定义域

值域

最值

当时，；当

时，．

当时，

；当

时，．

既无最大值也无最小值

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在

上是增函数；在

上是减函数．

在上是增函数；在

上是减函数．

在

上是增函数．

对称性

对称中心

对称轴

对称中心

对称轴

对称中心

无对称轴

定理6两角和与差的基本关系式：

cos（αβ）=cosαcosβsinαsinβ,

sin（αβ）=sinαcosβcosαsinβ;

tan（αβ）=

定理7和差化积与积化和差公式:

sinα+sinβ=2sincos,

sinα-sinβ=2sincos,

cosα+cosβ=2coscos,

cosα-cosβ=-2sinsin,

sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）],

cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）],

cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）],

sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）].

定理8倍角公式:

sin2α=2sinαcosα,

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=

定理9半角公式:

sin=,cos=,

tan==

定理10万能公式:

,

定理11辅助角公式：

如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点（a,b）的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.

asinα+bcosα=sin（α+β）.

定理12正弦定理：

在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13余弦定理：

在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14图象之间的关系：

y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin（x+）的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin（）的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+）（>0）的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+）（,>0）（|A|叫作振幅）的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。

定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx（x∈[-1,1]），函数y=cosx（x∈[0,π]）的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx（x∈[-1,1]）.函数y=tanx的反函数叫反正切函数。

记作y=arctanx（x∈[-∞,+∞]）.y=cosx（x∈[0,π]）的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx（x∈[-∞,+∞]）.

定理15三角方程的解集，如果a∈（-1,1），方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+（-1）narcsina,n∈Z}。

方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。

恒等式：

arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.

定理16若，则sinx

二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

1（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是

（A）0（B）1（C）2（D）4

2．最小正周期的确定。

例2求函数y=sin（2cos|x|）的最小正周期。

【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos（-x）=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,

所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin（2cos0）=sin2sin（2cosπ），所以T0=2π。

1．（07江苏卷）下列函数中，周期为的是（）

A．B．C．D．

2.（08江苏）的最小正周期为，其中，则=

3.（04全国）函数的最小正周期是（）.

4.

（1）（04北京）函数的最小正周期是.

（2）（04江苏）函数的最小正周期为（）.

5.（09年广东文）函数是（）

A．最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数

C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数

6.（浙江卷2）函数的最小正周期是.

3．三角最值问题。

例3已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】令sinx=,

则有y=

因为，所以，

所以≤1，

所以当，即x=2kπ-（k∈Z）时，ymin=0，

当，即x=2kπ+（k∈Z）时，ymax=2.

【解法二】因为y=sinx+,

=2（因为（a+b）2≤2（a2+b2）），

且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，

所以当=sinx，即x=2kπ+（k∈Z）时,ymax=2，

当=-sinx，即x=2kπ-（k∈Z）时,ymin=0。

注：

三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。

练习1.（09福建）函数最小值是=。

2.（09上海）函数的最小值是.

3．将函数的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是

A．B．　　C．　　D．

4.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）

A．1 B． C． D．2

5.函数在区间上的最大值是（）

A.1 B. C. D.1+

4．换元法的使用。

例4求的值域。

【解】设t=sinx+cosx=

因为

所以

又因为t2=1+2sinxcosx,

所以sinxcosx=，所以，

所以

因为t-1，所以，所以y-1.

所以函数值域为

5．图象变换：

y=sinx（x∈R）与y=Asin（x+）（A,,>0）.

由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin（x+）的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin（x+）的图象。

例5已知f（x）=sin（x+）（>0,0≤≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

【解】由f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），所以sin（+）=sin（-x+），所以cossinx=0，对任意x∈R成立。

又0≤≤π，解得=，

因为f（x）图象关于对称，所以=0。

取x=0，得=0，所以sin

所以（k∈Z），即=（2k+1）（k∈Z）.

又>0，取k=0时，此时f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；

取k=1时，=2，此时f（x）=sin（2x+）在[0，]上是减函数；

取k=2时，≥，此时f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数，

综上，=或2。

1.（09山东）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是

2.

（1）（07山东）要得到函数的图象，只需将函数的图象向

平移个单位

（2）（全国一8）为得到函数的图像，只需将函数的图像

向平移个单位

（3）为了得到函数的图象，可以将函数的图象向平移

个单位长度

3.将函数y=cosx－sinx的图象向左平移m（m>0）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（D）

A.B. C.D.

4.（湖北）将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值