大一高数复习资料Word文档下载推荐.docx
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【证明示例】N语言
1．由xna化简得ng，∴Ng
2．即对0，Ng。
当nN时，始终有不等式xna成立，∴limxna
3．由定理可知limfxgx0
（limfxgx0）
【题型示例】已知函数fx，证明limfxA
第三节函数的极限
○xx0时函数极限的证明（★）
第五节极限运算法则
○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则
关于多项式px、qx商式的极限运算
mm1
pxa0xa1xam
设：
nn1
qxb0xb1xbn
nmpxa0
nm则有lim
xqxb0
nm0
fx0
gx00
gx0fx
gx00,fx00lim
xx0gx0
gx0fx000
fx0
（特别地，当lim（不定型）时，通常分
xx0gx0
【证明示例】语言
1．由fxA化简得0xx0g，∴g
2．即对0，g，当0xx0时，始终有不等式fxA成立，∴limfxA
○x时函数极限的证明（★）
【证明示例】X语言
1．由fxA化简得xg，∴Xg
2．即对0，Xg，当xX时，始终有不等式fxA成立，∴limfxA
第四节无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质（★）函数fx无穷小limfx0函数fx无穷大limfx
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）
【题型示例】求值lim
x3
x29
【求解示例】解：
因为x3，从而可得x3，所以原
x3x311
limlim
x3x29x3x3x3x3x36
其中x3为函数fx2的可去间断点
x9
式lim
倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
2x3
解：
limx2x1
x1
2x12
limx
2x1
2x12
x122x1
2
lim12x1
2x12x1
22
lim12x12x1
2limx1
2x12x1
x3x311
limlim解：
lim2
x3x9Lx3x32x6
○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那
00
lim1
2x12x1e
lim
e
2x2
e1e
xflimx么，limfxx0xx0
【题型示例】求值：
lim
第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）
U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln（1U）1．U
~e12．U~1cosU
（乘除可替，加减不行）
ln1xxln1x【题型示例】求值：
lim2x0x3x
【求解示例】
ln1xxln1x解：
因为x0,即x0,所以原式limx0x23x
1xln1xlim1xxlimx11limx0x0xx3x0x3xx33第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）
【求解示例】x3
1
第六节极限存在准则及两个重要极限
○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：
lim∵x0,
sinx
x0x
1，sinxxtanx∴limx0x2
lim1x1x0
limlim1x0sinxx0sinxsinx
limx0xx
limfxlimfxfx0
○间断点的分类（P67）（★）
跳越间断点（不等）
第一类间断点（左右极限存在）
可去间断点（相等）
第二类间断点
）无穷间断点（极限为
（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
sin（xx0）
（特别地，lim1）
xx0xx0
○单调有界收敛准则（P57）（★★★）
第二个重要极限：
lim1e
（一般地，limfxlimfx0）
gx
limfx
limgx
，其中
e2xx0
【题型示例】设函数fx，应该怎样选
axx0
择数a，使得fx成为在R上的连续函数？
f0e20e1e
1．∵f0a0a
f0a
fxlimfxf0e2．由连续函数定义lim
x0
2x3【题型示例】求值：
∴ae
闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）
【题型示例】证明：
方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】
1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在闭区间a,b上连续；
2．∵ab0（端点异号）
3．∴由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使gC0（01）4．这等式说明方程fxgxC在开区间a,b内至少有一个根第二章导数与微分
第一节导数概念
○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）
得0，即f
【题型示例】求函数f1x的导数
【求解示例】由题可得fx为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且fx0；
∴f
fx○复合函数的求导法则（★★★）
【题型示例】设ylne【求解示例】
y
，求y
ex1x0
【题型示例】已知函数fx，在x0
x0axb
处可导，求a，b
f0e01e0120
f0e11．∵，f0b
f0e012
eeearcsi
xa
第四节高阶导数○f
n
n1
n1ndydy）（或（★）xnn1dxdx
xf
f0f0a1
2．由函数可导定义
f0f0f0b2
∴a1,b2
【题型示例】求函数yln1x的n阶导数【求解示例】y
11
1x，1x
【题型示例】求yfx在xa处的切线与法线方程（或：
过yfx图像上点a,fa处的切线与法线方程）【求解示例】
1．yfx，y|xafa2．切线方程：
yfafaxa法线方程：
yfa
xafa12
y1x11x，
23
y11x121x
yn
（1）n1（n1）！
（1x）n
第五节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★★★）【题型示例】试求：
方程yxe所给定的曲线C：
y
第二节函数的和（差）、积与商的求导法则
○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：
（uv）uv特别地，当1时，有（uv）uv2．函数积的求导法则（定理二）：
（uv）uvuv
yyx在点1e,1的切线方程与法线方程
【求解示例】由yxe两边对x求导即yxe∴y
化简得y1e
uuvuv
3．函数商的求导法则（定理三）：
vv
第三节反函数和复合函数的求导法则
○反函数的求导法则（★）
11
1e11e
x1e1e
∴切线方程：
y1
法线方程：
y11ex1e
○参数方程型函数的求导
x0，函数fx在闭区间0,x上连续，在开区
xtdy
，求2
dxyt
dy
dytd2ydx【求解示例】1.2.2
tdxtdx
【题型示例】设参数方程
；
1x
2．由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式
间0,上可导，并且fx
ln1xln10
化简得ln1x∴f
x0成立，1
第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分
○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）dyfxdx
第三章中值定理与导数的应用
第一节中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：
0,，使得f
x，又∵0,x，1
1，∴ln1x1xx，1
即证得：
当x1时，eex
第二节罗比达法则
○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）☆
1．等价无穷小的替换（以简化运算）
2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（
cosfsin0成立
【证明示例】
1．（建立辅助函数）令xfxsinx
显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间
0
）且满足条件，0
fxfx
则
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