大一高数复习资料Word文档下载推荐.docx

1、 【证明示例】 N语言 1由xn a 化简得n g ， N g 2即对 0， N g 。当n N时，始终有不等式xn a 成立， lim xn a 3由定理可知lim f x g x 0 （lim f x g x 0） 【题型示例】已知函数f x ，证明limf x A 第三节 函数的极限 x x0时函数极限的证明（） 第五节 极限运算法则 极限的四则运算法则（） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式p x 、q x 商式的极限运算 mm 1 p x a0x a1x am 设： nn 1 q x b0x b1x bn n m p x a0 n m 则有lim x qx b0 n

2、m 0 f x0 g x0 0 gx0f x g x0 0,f x0 0 lim x x0gx 0 g x0 f x0 00 f x 0 （特别地，当lim （不定型）时，通常分 x x0gx0 【证明示例】 语言 1由f x A 化简得0 x x0 g ， g 2即对 0， g ，当0 x x0 时，始终有不等式f x A 成立， limf x A x 时函数极限的证明（） 【证明示例】 X语言 1由f x A 化简得x g ， X g 2即对 0， X g ，当x X时，始终有不等式f x A 成立， limf x A 第四节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（） 函数f x 无穷小

3、limf x 0 函数f x 无穷大 limf x 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值lim x 3 x2 9 【求解示例】解：因为x 3，从而可得x 3，所以原 x 3x 311 lim lim x 3x2 9x 3x 3x 3x 3x 36 其中x 3为函数f x 2的可去间断点 x 9 式 lim 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 2x 3 解：lim x 2x 1 x 1 2x 1 2 lim x 2x 1 2x 12 x 1 22x 1 2 lim 1 2x 1 2x 12x 1 22 lim 1 2x 1 2x

4、1 2 lim x 1 2x 1 2x 1 x 3 x 311 lim lim 解：lim2 x 3x 9L x 3x 32x6 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（） （定理五）若函数f x 是定义域上的连续函数，那 00 lim 1 2x 1 2x 1 e lim e 2x 2 e1 e x f lim x 么，limf x x0 x x0 【题型示例】求值：lim 第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（） UsinUtanUarcsinUarctanUln（1 U）1 U e 1 2U1 cosU （乘除可替，加减不行） ln 1 x xln 1 x 【题型示例】求值：l

5、im 2x 0x 3x 【求解示例】 ln 1 x xln 1 x 解：因为x 0,即x 0,所以原式 limx 0x2 3x 1 x ln 1 x lim 1 x x limx 1 1 limx 0x 0xx 3x 0x 3xx 33第八节 函数的连续性 函数连续的定义（） 【求解示例】x 3 1 第六节 极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则（P53）（） 第一个重要极限：lim x 0, sinx x 0x 1 ，sinx x tanxlimx 0x 2 lim1x1x 0 lim lim 1 x 0sinxx 0sinx sinx lim x 0x x limf x lim f x f

6、x0 间断点的分类（P67）（） 跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极限存在） 可去间断点（相等） 第二类间断点 ） 无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） sin（x x0） （特别地，lim 1） x x0x x0 单调有界收敛准则（P57）（） 第二个重要极限：lim 1 e （一般地，lim f x limf x 0） g x limf x limg x ，其中 e2xx 0 【题型示例】设函数f x ，应该怎样选 a xx 0 择数a，使得f x 成为在R上的连续函数？ f 0 e2 0 e1 e 1 f0 a 0 a f 0 a f x limf x

7、 f 0 e 2由连续函数定义lim x 0 2x 3 【题型示例】求值： a e 闭区间上连续函数的性质 零点定理（） 【题型示例】证明：方程f x g x C至少有一个根介于a与b之间 【证明示例】 1（建立辅助函数）函数 x f x g x C在闭区间 a,b 上连续； 2 a b 0（端点异号） 3由零点定理，在开区间 a,b 内至少有一点 ，使 g C 0（0 1）4这等式说明方程f x g x C在开区间 a,b 内至少有一个根 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（） 得 0，即f 【题型示例】求函数f 1 x 的导数 【求解示例】由题可

8、得f x 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且f x 0； f f x复合函数的求导法则（） 【题型示例】设y lne【求解示例】y ，求y ex 1x 0 【题型示例】已知函数f x ，在x 0 x 0 ax b 处可导，求a，b f 0 e0 1 e0 1 20 f 0 e 1 1 ， f0 b f 0 e0 1 2 e e earcsi x a 第四节 高阶导数 f n n 1 n 1 n dydy）（或（） x n n 1 dx dx x f f 0 f 0 a 1 2由函数可导定义 f0 f0 f 0 b 2 a 1,b 2 【题型示例】求函数y ln 1 x 的n阶导数 【求

9、解示例】y 1 1 1 x ， 1 x 【题型示例】求y f x 在x a处的切线与法线方程 （或：过y f x 图像上点 a,f a 处的切线与法线方程） 【求解示例】 1y f x ，y |x a f a 2切线方程：y f a f a x a 法线方程：y f a x a f a 1 2 y 1 x 1 1 x ， 2 3 y 1 1 x 1 2 1 x y n （ 1）n 1 （n 1）！ （1 x） n 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对x求导）（） 【题型示例】试求：方程y x e所给定的曲线C： y 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 函数和（差

10、）、积与商的求导法则（） 1线性组合（定理一）：（ u v） u v 特别地，当 1时，有（u v） u v 2函数积的求导法则（定理二）：（uv） u v uv y y x 在点 1 e,1 的切线方程与法线方程 【求解示例】由y x e两边对x求导 即y x ey 化简得y 1 e u u v uv 3函数商的求导法则（定理三）： vv 第三节 反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（） 11 1 e11 e x 1 e 1 e 切线方程：y 1 法线方程：y 1 1 e x 1 e 参数方程型函数的求导 x 0，函数f x 在闭区间 0,x 上连续，在开区 x t dy ，求2 d

11、x y t dy dy t d2y dx 【求解示例】1.2.2 tdx tdx 【题型示例】设参数方程 ； 1 x 2由拉格朗日中值定理可得， 0,x 使得等式 间 0, 上可导，并且f x ln 1 x ln 1 0 化简得ln 1 x f x 0 成立， 1 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dy f x dx 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理（费马引理）（） 罗尔定理（） 【题型示例】现假设函数f x 在 0, 上连续，在 0, 上可导，试证明： 0, ， 使得f x，又 0,x ， 1 1，ln 1 x 1 x x， 1 即证得：当x 1时，e e x 第二节 罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（） 1等价无穷小的替换（以简化运算） 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A属于两大基本不定型（ cos f sin 0成立 【证明示例】 1（建立辅助函数）令 x f x sinx 显然函数 x 在闭区间 0, 上连续，在开区间 0 ,）且满足条件， 0 f x f x 则