全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版含部分选填详解Word文件下载.docx
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C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.的展开式中的系数为()
A.-80B.-40C.40D.80
10.已知椭圆的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为()
A.B.C.D.
11.已知函数有唯一零点,则a=()
A.B.C.D.1
12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则的最大值为()
A.3B.C.D.2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若满足约束条件,则的最小值为__________.
14.设等比数列满足,则
15.设函数则满足的x的取值范围是_________。
16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°
角时,AB与b成30°
角;
②当直线AB与a成60°
角时,AB与b成60°
③直线AB与a所成角的最小值为45°
;
④直线AB与a所成角的最小值为60°
其中正确的是________。
(填写所有正确结论的编号)
三、简答题(综合题)(本大题共7小题,共70分)
17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求△ABD的面积.
18.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
20.(12分)
已知抛物线,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
21.(12分)已知函数.
(1)若,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,,求m最小值.
22.选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.
23.选考题:
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x+m的解集非空,求m的取值范围.
参考答案
单选题
1.
B2.
C3.
A4.
C5.
B
6.
D7.
D8.
B9.
A10.
A
11.
C12.
精选题目详解:
8.如图所示,易知,,,选
11.
令,则在上单调递减,在上单调递增;
令,则由均值不等式得,在上单调递减,在上单调递增;
故当时,在上单调递减,在上单调递增;
满足题意,结合选项知选C
12.建立如图所示的平面直角坐标系,
则,
由等面积法可知,圆的半径为,
故圆的方程为
故可设
填空题
13.
-1
14.
-8
15.
(-1/4,+∞)
16.
②③
15.画出及的图像知及都是上的单调递增函数,故也是上的单调递增函数,从图像上易判断的解在直线部分,
故令,解得,故的解集为
16.建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设,
直线的方向向量为,
直线的方向向量为
则,
当直线AB与a成60°
角时,即
则直线与直线的夹角应该满足
设直线与直线的夹角,则,所以的最小值为,最大值为
综上正确的为
简答题
17.
解:
(1)
由余弦定理知
整理可得:
(舍去)
(2)由
(1)可得
18.
(1)的所有可能取值为200,300,500
故的分布列为:
200
300
500
0.2
0.4
(2)当时,
当时,的分布列为:
综上所述
易知,当时,最大,此时
19.
(1)证明:
设
是正三角形
又是直角三角形
取中点,连接
易知,且,又
又
平面
又平面
平面平面
(2)过点作的垂线,垂足为,则,
平面,平面
又,且
为的中位线
为中点
以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,
则由
(1)得,,,
平面的法向量,平面的法向量
二面角的余弦值为
20.
(1)设直线方程为,
联立抛物线方程可得:
坐标原点在圆上
(2)由
(1)得:
当时,直线方程为,
圆心,半径
圆的方程为
当时,直线方程为
圆方程为
21.
(1)的定义域为
当时,,在上单调增,又,故不满足题意
当时,令,则,
易知在上单调减,在上单调增
故只需,即
令,则
易知在上单调增,单调减,故
且仅在时取得最大值
故当且仅当时,
(2)由
(1)得对均成立
故用代替得
的最小值为3
22.
(1)由已知得,
,,
(3分)
即,即.
(5分)
(2)将代入
(1)中,
所以,
解得,
(8分)
所以在直角坐标系下的坐标为
由得:
.
所以的极径为
(10分)
23.
(1)当时,
当,
当时,
令可得
综上易知,的解集为
(2)设
由有解可得有解
故
的取值范围是