人教版九年级数学上个单元知识点总结Word文件下载.docx

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一元二次方程

的求根公式:

>

0时,方程有两个实数根。

=0时,方程有两个相等实数根。

<0时,方程没有实数根。

5、因式分解法:

先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解叫因式分解法。

这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式:

中,

叫做一元二次方程

的根的判别式,通常用“

”来表示,即

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程

的两个实数根是

,由求根公式

可算出

第二十二章二次函数

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:

一般地,形如

是常数,

)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:

和一元二次方程类似,二次项系数

,而

可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2.二次函数

的结构特征:

⑴等号左边是函数,右边是关于自变量

的二次式,

的最高次数是2.

是二次项系数,

是一次项系数,

是常数项.

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式:

的性质:

a的绝对值越大,抛物线的开口越小。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

的增大而增大;

的增大而减小;

有最小值

向下

有最大值

2.

上加下减。

3.

左加右减。

X=h

4.

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤:

方法一:

⑴将抛物线解析式转化成顶点式

,确定其顶点坐标

⑵保持抛物线

的形状不变,将其顶点平移到

处,具体平移方法如下:

2.平移规律

在原有函数的基础上“

值正右移,负左移;

值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

方法二:

沿

轴平移:

向上(下)平移

个单位,

变成

(或

沿轴平移:

向左(右)平移

四、二次函数

的比较

从解析式上看,

是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即

五、二次函数

图象的画法

五点绘图法:

利用配方法将二次函数

化为顶点式

,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:

顶点、与

轴的交点

、以及

关于对称轴对称的点

、与

(若与

轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:

开口方向,对称轴,顶点,与

轴的交点,与

轴的交点.

六、二次函数

的性质

1.当

时,抛物线开口向上,对称轴为

,顶点坐标为

2.当

时,抛物线开口向下,对称轴为

.当

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式:

为常数,

);

2.顶点式:

3.两根式:

是抛物线与

轴两交点的横坐标).

注意:

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与

轴有交点,即

时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数

作为二次项系数,显然

⑴当

时,抛物线开口向上,

的值越大,开口越小,反之

的值越小,开口越大;

⑵当

时,抛物线开口向下,

的值越小,开口越小,反之

的值越大,开口越大.

总结起来,

决定了抛物线开口的大小和方向,

的正负决定开口方向,

的大小决定开口的大小.

2.一次项系数

在二次项系数

确定的前提下,

决定了抛物线的对称轴.

⑴在

的前提下,

,即抛物线的对称轴在

轴左侧;

,即抛物线的对称轴就是

轴;

,即抛物线对称轴在

轴的右侧.

⑵在

的前提下,结论刚好与上述相反,即

轴右侧;

轴的左侧.

总结起来,在

决定了抛物线对称轴的位置.

的符号的判定:

轴左边则

,在

轴的右侧则

,概括的说就是“左同右异”

总结:

3.常数项

时,抛物线与

轴的交点在

轴上方,即抛物线与

轴交点的纵坐标为正;

轴的交点为坐标原点,即抛物线与

轴交点的纵坐标为

⑶当

轴下方,即抛物线与

轴交点的纵坐标为负.

总结起来,

决定了抛物线与

轴交点的位置.

总之,只要

都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

九、二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3.已知抛物线与

轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

十、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

1.关于

轴对称

关于

轴对称后,得到的解析式是

2.关于

3.关于原点对称

关于原点对称后,得到的解析式是

4.关于顶点对称(即:

抛物线绕顶点旋转180°

关于顶点对称后,得到的解析式是

5.关于点

对称

关于点

对称后,得到的解析式是

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此

永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十一、二次函数与一元二次方程:

1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与

轴交点情况):

是二次函数

当函数值

时的特殊情况.

图象与

轴的交点个数:

①当

时,图象与

轴交于两点

,其中的

是一元二次方程

的两根.这两点间的距离

.

②当

轴只有一个交点;

③当

轴没有交点.

时,图象落在

轴的上方,无论

为任何实数,都有

轴的下方,无论

2.抛物线

的图象与

轴一定相交,交点坐标为

3.二次函数常用解题方法总结:

⑴求二次函数的图象与

轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;

⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;

⑶根据图象的位置判断二次函数

的符号,或由二次函数中

的符号判断图象的位置,要数形结合;

抛物线与

轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与

轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式

本身就是所含字母

的二次函数;

下面以

时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:

十二、二次函数图像参考:

十三、函数的应用

二次函数应用

第二十三章旋转

一、旋转

1、定义:

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。

2、性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等。

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等。

二、中心对称

把一个图形绕着某一个点旋转18

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