届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案Word文档格式.docx
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,∠B=30°
,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.
(1)求AD的长;
(2)求四边形AEDF的周长.(注意:
本题中的计算过程和结果均保留根号)
5.如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.
△BCE≌△DCF;
(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?
请说明理由.
6.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF分别交AC于点H,交CD于点G.
BG=DE;
(2)若点G为CD的中点,求的值.
7.如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.
(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;
(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°
,求线段BG的长.
8.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.
△ACD∽△BFD;
(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.
9.如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.
GF.
10.如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°
,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;
延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.
AD=AF;
BD=EF;
(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.
11.在△ABC中,∠ABM=45°
,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图①,若AB=3,BC=5,求AC的长;
(2)如图②,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:
∠BDF=∠CEF.
12.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的长.
参考答案:
1.解:
(1)证明:
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°
.
在△BDG和△ADC中,
,∴△BDG≌△ADC.
∴BG=AC,∠BGD=∠C.∵∠ADB=∠ADC=90°
,
E,F分别是BG,AC的中点,∴DE=BG=EG,
DF=AC=AF.∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD.
∴∠EDG+∠FDA=90°
,∴DE⊥DF.
(2)∵AC=10,∴DE=DF=5,由勾股定理,得EF==5.
2.解:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠D=∠ECF.在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA).
(2)∵△ADE≌△FCE,∴AD=FC.∵AD=BC,AB=2BC,
∴AB=FB.∴∠BAF=∠F=36°
.∴∠B=180°
-2×
36°
=108°
.
3.证明:
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AD=CD,
∠ADB=∠CDB.又GD为公共边,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴AG=CG.
(2)∵△ADG≌△CDG,∴∠EAG=∠DCG.∵AB∥CD,
∴∠DCG=∠F.∴∠EAG=∠F.∵∠AGE=∠AGE,
∴△AGE∽△FGA.∴=.∴AG2=GE·
4.解:
(1)∵∠C=90°
,∴∠CAB=60°
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠CAB=30°
在Rt△ACD中,∵∠ACD=90°
,∠CAD=30°
,∴AD=2CD=6.
(2)∵DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF=∠DAF.
∴AF=DF.∴四边形AEDF是菱形.∴AE=DE=DF=AF.
在Rt△CED中,∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B=30°
∴DE==2.∴四边形AEDF的周长为8.
5.解:
∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,
AB=BC=DC=AD.∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,
∴AE=BE=DF=AF,OF=DC,OE=BC,OE∥BC.
在△BCE和△DCF中,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形,
理由如下:
由
(1)得AE=OE=OF=AF,
∴四边形AEOF是菱形.∵AB⊥BC,OE∥BC,
∴OE⊥AB.∴∠AEO=90°
.∴四边形AEOF是正方形.
6.解:
∵BF⊥DE,∴∠GFD=90°
.∵∠BCG=90°
∠BGC=∠DGF,∴∠CBG=∠CDE.
在△BCG与△DCE中.
∴△BCG≌△DCE(ASA),∴BG=DE.
(2)设CG=x,∵G为CD的中点,∴GD=CG=x,
由
(1)可知△BCG≌△DCE(ASA),∴CG=CE=x.
由勾股定理可知DE=BG=x,∵sin∠CDE==,
∴GF=x.∵AB∥CG,∴△ABH∽△CGH.∴==.
∴BH=x,GH=x.∴=.
7.解:
(1)结论:
AG2=GE2+GF2.理由:
连接CG.
∵四边形ABCD是正方形,∴点A,C关于对角线BD对称.
∵点G在BD上,∴GA=GC.∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°
.∴四边形EGFC是矩形.
∴CF=GE.在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.
(2)过点B作BN⊥AG于点N,在BN上取一点M,使得AM=BM.
设AN=x.∵∠AGF=105°
,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°
∴∠AGB=60°
,∠GBN=30°
,∠ABM=∠MAB=15°
∴∠AMN=30°
.∴AM=BM=2x,MN=x.
在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,∴1=x2+(2x+x)2,
解得x=,∴BN=.∴BG==.
8.解:
(1)∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°
,∴∠C+∠DBF=90°
,∠C+∠DAC=90°
,∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD
(2)∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°
,∴=1,∵△ACD∽△BFD,∴==1,∴BF=AC=3
9.解:
(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AD=CD,∠ADB=∠CDB,可证△ADG≌△CDG(SAS),∴AG=CG
(2)∵△ADG≌△CDG,∴∠EAG=∠DCG,∵AB∥CD,∴∠DCG=∠F,∴∠EAG=∠F,∵∠AGE=∠AGE,∴△AGE∽△FGA,∴=,∴AG2=GE·
GF
10.解:
(1)∵AB=AC,∠BAC=90°
,∴∠ABC=∠ACB=45°
,∴∠ABF=135°
,∵∠BCD=90°
,∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°
,∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD,可证△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF
(2)由
(1)知AF=AD,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC,∵∠BAC=90°
,∴∠EAB=∠BAC=90°
,∴∠EAF=∠BAD,可证△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF
(3)四边形ABNE是正方形.理由如下:
∵CD=CB,∠BCD=90°
,∴∠CBD=45°
,又∵∠ABC=45°
,∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°
,由
(2)知∠EAB=90°
,△AEF≌△ABD,∴∠AEF=∠ABD=90°
,∴四边形ABNE是矩形,又∵AE=AB,∴四边形ABNE是正方形
11.解:
(1)∵∠ABM=45°
,AM⊥BM,
∴AM=BM=ABcos45°
=3×
=3.
则CM=BC-BM=5-3=2,∴AC===.
(2)证明:
延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.∵DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM=AM,∴△BMD≌△AMC(SAS).∴AC=BD.又CE=AC,∴BD=CE.∵BF=FC,∠BFG=∠EFC,FG=FE,∴△BFG≌△CFE.∴BG=CE,∠G=∠E.∴BD=CE=BG,∴∠BDG=∠G=∠E.
12.解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°
,AD∥BC.∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°
.∴∠B=∠AFE.∴△ABM∽△EFA.
(2)∵∠B=90°
,AB=AD=12,BM=5,∴AM==13.
∵F是AM的中点,∴AF=AM=6.5.∵△ABM∽△EFA,
∴=,即=.∴AE=16.9,∴DE=AE-AD=4.9.