高中数学 81椭圆及其标准方程备课资料大纲人教版必修Word下载.docx

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对此问题学生一般能回答:

“当x2与y2系数不相等时或xy项的系数不为零时或D2+E2-4F≤0时，这样的方程所表示的曲线都不是圆”.

2.圆的几何特征是什么？

学生一般能回答：

“圆上任意一点到圆心（定点）的距离等于半径（定长）”.这时要进一步提问：

“除上述特征外，你还能说出具有哪些特征的点的轨迹也是圆?

”启发学生回忆所学的例题、习题中有关的轨迹命题.学生翻阅课本后能回答：

“到两定点距离平方和为常量的动点轨迹是圆”.

“到两定点连线斜率乘积等于-1的动点轨迹也是圆”.（当然还应除去两定点）

（启发学生对已有的知识进行归纳、提炼，以便为新概念的引入作好自然的铺垫.）

第三组问题——深入思考与探索

1.一般二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0既然不完全表示圆，那么它还可能表示什么样的曲线呢？

当系数A、B、C、D、E取各种不同数值时，相应的方程代表的曲线将有什么差别呢？

能否找到一般性规律，得出这些曲线的大致形象？

这些问题并不一定要求学生回答，旨在引起学生积极思考，激发学生强烈的探索欲望.

2.如上，我们已经知道“到两定点距离平方和为常量”或“到两定点连线斜率乘积等于-1”的点的轨迹，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？

类比的能力大部分学生是具备的（尽管程度有差别），经过教师启发引导，学生们会提出下列轨迹命题，如：

“到两定点距离之和等于常量的动点轨迹”.

“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹”.

“到两定点距离之差等于常量的动点轨迹”.

“到定点与定直线距离相等的动点轨迹”.

以上是学生受到已做习题的启发而提出的.

还有学生通过类比提出：

“到两定点距离的立方和（差）等于常量的动点轨迹”，“到定点与直线距离的比为常量的动点轨迹”，“到定点与定直线的距离和（差）等于常量的动点轨迹”等等.

对同学们这种大胆设想，勇于探索的精神，教师要予以大力肯定，表示赞赏，并指出同学们所提出的这些问题正是我们后一段学习中要逐步解决的问题，而同学们自己也可运用坐标法探求它们的方程，根据方程描点画图，也可设法用实验方法描绘具有这些特征的几何图形.

（以上从方程与曲线两方面，也就是从数与形两条“线路”引导学生联想、分析、探索，这样，引出斜曲线的概念已是水到渠成了）

譬如说，同学们提出的“动点到两定点的距离之和等于常量”，此动点的轨迹是什么？

请同学们不妨尝试一下，看看能否设计一种绘图方法.画出符合这种几何条件的轨迹.

（课前要求学生准备图钉若干，细线一根）

学生纷纷动手，相互磋商，观摩，不一会大部分同学已画出；

再让一个学生在黑板上用准备好的工具演示，同学们都高兴地叫起来，轨迹是椭圆！

教师问：

“椭圆，在哪些地方见过？

”

有的学生说：

“人造卫星运行轨道.”

这是学生从物理课本中了解的.

“洒水车，装油车.”

教师指出：

确切地说，应是它的横截面的轮廓线.

在上述基础上，引导学生概括椭圆定义.学生开始只强调主要几何特征______到两定点距离之和等于常量，这时教师通过演示（将穿有粉笔的细线拉到黑板平面外），启发学生思考.学生认识到需加上限制条件：

“在平面内”.教师边演示边提示学生注意：

这里的常量有什么限制吗？

若这个常量等于两定点距离？

小于呢？

学生认识到.这时都不可能形成椭圆.前者变成了线段，后者轨迹不存在.若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：

“此常量大于两定点之间的距离.”

这样学生得出了完整的椭圆定义：

平面内到两定点的距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹叫做椭圆.

教师顺便指出：

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.

二、推导椭圆的标准方程

给出椭圆的定义后，教师即可指出：

由椭圆定义，可以知道它的基本几何特征，但对于这种斜曲线还具有哪些性质，我们几乎一无所知.因此需要利用坐标法先建立椭圆的方程.

如何建立曲线方程！

首先应建立适当的坐标系.建立坐标系时，一般应符合简单和谐化的原则.如使关键点的坐标，关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性.

这样，大多数学生认识到下列选取方法是适宜的.

以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系，设|F1F2|=2c（c＞0）,M（x,y）是椭圆上任意一点，则有F1（-c,0）、F2（c,0）.

下面让学生利用两点间距离公式，根据椭圆的定义即可写出椭圆的方程.

+=2a.

上面所得方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.

（化简方程可让学生完成）

由于我们恰当地选取了坐标系，充分运用了图形的对称特征，因此得到的方程简单、对称，具有和谐美，特别便于根据方程分析研究椭圆许多有趣的性质.这一简化的方程称为椭圆的标准方程（焦点在x轴上）.

三、参考练习题

1.设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.圆D.线段

答案：

D

2.椭圆的左右焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）

A.32B.16C.8D.4

B

3.设α∈（0,），方程表示焦点在x轴上的椭圆，则α∈（）

A.（0,B.（,）

C.（0,）D.［,）

●备课资料

一、椭圆及其标准方程的学习

椭圆是一种常见而重要的曲线，对它的学习我们要通过它的方程去进一步深入研究它的几何性质，而对椭圆的定义及其标准方程的熟练掌握则是我们以后继续学习的基础和预备知识.

1.深刻理解椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆，用集合语言可叙述为：

点集P={M|MF1|+|MF2|=2a,a＞0,2a＞|F1F2|}.

问题1：

若点M满足条件|MF1|+|MF2|=2a（a＞0,F1、F2是平面内的两个定点），则它的轨迹一定是椭圆吗？

反过来，如果一个点M的轨迹是椭圆，一定有|MF1|+|MF2|=2a（a＞0）这一条件吗？

分析：

从上节课我们画椭圆的实际操作中可以得到：

当M满足：

|MF1|+|MF2｜=2a且

2a＞|F1F2|条件时，才能得到一个椭圆，同样可以得到，若M的轨迹是一个椭圆，则它一定满足|MF1|+|MF2|=2a（a＞0）这一条件.

评述：

深刻理解以上问题的关键是：

从实际出发，通过实践从而巩固理论.

问题2：

将定义中的“2a＞|F1F2|”改成“2a=|F1F2|”或“2a＜|F1F2|”时，点M的轨迹如何呢？

理解透彻以上问题仍可提醒学生在实践中总结理论，通过直接具体的实践不难发现和得到：

当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2.

当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是不存在的.

以上两个问题思考之后，可以得出：

“动点M到两个定点F1、F2的距离和|MF1|+|MF2|=2a（a＞0）”是“点M轨迹是椭圆”的必要而不充分条件.

注意：

椭圆的定义是我们对它方程式的推导的依据.

请读者试探索以下题目：

到两个定点F1（-2，0）和F2（2,0）的距离之和不小于4的点M的轨迹是什么？

线段或椭圆

2.熟练掌握椭圆的标准方程：

在学习椭圆的标准方程时，应注意些什么？

①椭圆的位置特征与它的标准方程形式是统一的.椭圆的位置由其中心位置和焦点位置确定，即当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，对应的方程为=1（a＞b＞0）.当椭圆的中心在原点，焦点在y轴上时，对应的方程是=1（a＞b＞0）.

②在求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；

“定量”是指确定方程中的a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法去求.

在具体去求椭圆的标准方程时，应怎样进行“巧设巧求”呢？

下面通过具体例子说明：

［例1］根据下列条件，求椭圆的标准方程.

①坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（）.

②坐标轴为对称轴，一焦点为（0，），且截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为0.5.

③经过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.

解：

①设所求椭圆的方程为=1（m＞0,n＞0）

∵椭圆过A（0，2），B（）

∴

∴所求椭圆方程为：

x2+=1

②根据题意设所求椭圆的方程为

=1（a＞b＞0）

∵c=

∴a2=b2+50

消去y得：

10（b2+5）x2-12b2x-b2（b2+46）=0

设直线与椭圆相交于M（x1,y1）,N（x2,y2）两点，则x1、x2是以上方程的根且有Δ＞0

即5b3+2b2+43b+100＞0（*）

∴x1+x2=

∵

∴b2=25,∴a2=75

将b2=25代入*中成立

∴所求椭圆的方程为：

=1

③∵椭圆9x2+4y2=36的焦点为（0，±

），则可设所求椭圆方程为：

=1（m＞0）

将x=2,y=-3代入上式得：

解得：

m=10或m=-2（舍去）

评注：

①小题中所求椭圆方程设为=1（m＞0,n＞0），这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴，如若用常规思路设为=1（a＞b＞0）或=1（a＞b＞0）去求时，运算过程将会非常繁琐，而且还要舍去一个不符合题意的.因此，在焦点位置未明确的情况下，本题所设方程是恰当合理的，简单易行的.如遇类似问题时我们不妨采取这一设法.

②小题中的解法体现了求椭圆方程的一般方法，通过“定位”与“定量”两个过程可求得所求椭圆方程，但本题注意到方程结构的特点可直接求出a2、b2而无需再去求a、b了，另外，此题要根据根与系数的关系去求b2,在消去y的过程中因运算量较大，故应小心谨慎一些.

③小题中的设法也不失为一种好的设法.

因已知椭圆的焦点为（0，±

），如若能注意到方程=1（m＞0）表示的是其焦点F1（0，-）、F2（0，）的椭圆方程时，问题将会变得简单易解，使我们感到得心应手.在以后学习过程中如遇类似问题不妨采取这种设法.

确定圆锥曲线的方程是解析几何里的一类重要题型，常规解法固然思路简单自然，但在很多情况下，它会使我们陷入运算量繁琐的困境中，因此“巧设巧求”会带给我们事半功倍的效果.

3.深入学习“定义法”求“动点轨迹”.

椭圆的定义在求点的轨迹问题中发挥着巧思妙解的作用，它是如何体现的呢？

以下试通过具体例子说明：

［例2］平面内两个定点距离是8，求到两个定点距离的和是10的点的轨迹.

解法一：

设两个定点分别为F1、F2，以两个定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则F1（-4，0），F2（4，0）