数学知识点新人教A版高中数学选修45《数学归纳法》word教案2篇总结Word格式文档下载.docx
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（3）活用起点的位置；
（4）有的试题需要先作等价变换.
三、数学归纳法证明不等式的运用范围
数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.
联想发散
在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？
典题·
热题
知识点一：
命题的结构特征
例1求证：
n≥2,n∈N.
思路分析：
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，
不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了
共三项，而不是只增加
一项.
证明：
（Ⅰ）当n=2时，右边=
+
>
，不等式成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥2,k∈N）时命题成立，即
.
则当n=k+1时，
=
所以当n=k+1时，不等式也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.
错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.
例2已知，Sn=1+
+…+
n∈N，
用数学归纳法证明：
>
1+
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k项，而不是只增加了
这一项，否则证题思路必然受阻.
（Ⅰ）当n=2时，
=1+
=1+
，
∴命题成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n∈N均成立.
方法归纳
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.
知识点二：
比较法
例3求证：
≥
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明
，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.
（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=
，左式=右式;
当n=2时，左式=1+
右式=
;
左式>
右式.
∴当n=1或n=2时，不等式成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，不等式成立，即
左式=1+
∵
0,
∴
=右式.
由不等式的传递性，可得左式>
右式，
∴当n=k+1时，不等式也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n∈N,不等式都成立.
在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.
知识点三：
放缩法
例4证明：
，n≥2,n∈N.
本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，在证明
时，使用了均值定理进行放缩.
（Ⅰ）当n=2时，左边=
，右边=
∴左边<
右边，
∴n=2时，原不等式成立.
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即
当n=k+1时，
∴n=k+1时，原不等式成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.
知识点四：
转化等价命题
例5数列{an}的通项公式为an=3n+2，将数列{an}中的第2,4,8,…,2n项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，记其前n项和为Sn,Tn=n（9+an），当n≥4时，证明Sn>
Tn.
要证Sn>
Tn，只需证3×
2n+1+2n-6>
3n2+11n，即证2n+1>
n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化.
∵an=3n+2，
=3×
2n+2，
∴Sn=a2+a4+a8+…+a
=3（2+4+8+…+2n）+2n=3×
2n+1+2n-6.
而Tn=n（9+an）=3n2+11n.
3n2+11n，
即证2n+1>
n2+3n+2.
用数学归纳法来证明：
（Ⅰ）当n=4时，S4=98,T4=92,S4>
T4成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥4）时，结论成立，就是2k+1>
k2+3k+2，那么
2k+2-［（k+1）2+3（k+1）+2］>
2（k2+3k+2）-（k2+5k+6）
=k2+k-2=（k+2）（k-1）.
∵k≥4,
∴（k+2）（k-1）>
0.
∴2k+2>
（k+1）2+3（k+1）+2.
这就是说，当n=k+1时，Sn>
Tn也成立.
由（Ⅰ）（Ⅱ）知，对n≥4,Sn>
Tn都成立.
本题用数学归纳法证明2n+1>
n2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：
作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.
巧解提示
也可不用数学归纳法来证明2n+1>
n2+3n+2（n≥4），而是利用二项展开式和放缩法直接证得.
当n≥4时，
2n+1=2·
2n=2（1+1）n
=2（
）
≥2（
=n2+3n+4
知识点五：
单调性
例6已知数列{an}中，所有项都是正数，且an+1≤an-a2n，求证：
an<
（Ⅰ）当n=1时，由a2≤a1-a12=a1（1-a1），且a1>
0,a2>
0，可得a1<
1，命题成立.
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即ak<
则当n=k+1时，ak+1≤ak-a2k=ak（1-ak），
∵ak<
∴1-ak>
1-
由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k到（k+1）的证明.所以我们可以利用函数f（x）=-x2+x的单调性进行证明：
函数f（x）=-x2+x的最大值为f（
）=
，且在（-∞,
］上为增函数.
而a2≤a1-a12=f（a1）≤
<
，故n=2时命题也成立.
（Ⅱ）假设n=k（k≥2）时，命题成立，即ak<
因为函数f（x）=-x2+x在（-∞,
］上为增函数，
所以由ak<
≤
及ak+1≤ak-a2k得
ak+1≤f（ak）<
f（
即ak+1<
所以当n=k+1时，命题也成立.
根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N*，an<
知识点六：
活用起点的位置
例7已知函数f（x）=ax-
x2的最大值不大于
，又当x∈［
］时，f（x）≥
（1）求a的值；
（2）设0<
a1<
an+1=f（an）,n∈N*,证明:
在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式an+1=f（an）=
a2n+an的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.
（1）解：
由于f（x）=ax
所以
即a2≤1.
又x∈［
］时f（x）≥
所以
解得a≥1.
∴a=1.
（2）证明：
（Ⅰ）当n=1时，0<
，不等式0<
成立；
因f（x）>
0,x∈（0,
）,所以0<
a2=f（a1）≤
故n=2时不等式也成立.
（Ⅱ）假设n=k（k≥2）时，不等式0<
ak<
成立，
因为f（x）=x-
x2的对称轴为x=
知f（x）在［0,
］为增函数，所以由0<
得0<
f（ak）<
）,于是有
0<
ak+1<
-
·
根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n∈N*，不等式an<
成立.
将起点的位置推移至2的目的，就是要将ak和
置于函数f（x）的单调区间［0,
］内，从而由0<
）.
问题·
探究
交流讨论探究
问题1我们已经学习过贝努利不等式（1+x）n＞1+nx的证明，如果我们加强条件，如：
已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2.如何来证明不等式（1+x）n＞1+nx.证明的方法有哪些呢？
探究过程:
老师：
首先验证n=2时的情况.
（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立.
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