1、(3)活用起点的位置;(4)有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围 数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法,在我们高中数学中,经常会以数列和函数为知识载体,构造一些与自然数有关的命题,数学归纳法是证明它们的有效手段,但不是唯一手段.联想发散 在上一节中,我们还学习了归纳猜想证明的方法,在数学归纳法证明不等式的运用中,可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律,大胆猜想出一个不等式的命题,然后运用数学归纳法来证明呢?典题热题知识点一: 命题的结构特征例1 求证:,n2,nN.思路分析:本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,不是第k项,应是第2k项,数列各项分母
2、是连续的自然数,最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点,在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3,即3(k+1).不等式左端增加了, ,共三项,而不是只增加一项.证明:()当n=2时,右边=+,不等式成立.()假设当n=k(k2,kN)时命题成立,即.则当n=k+1时,=所以当n=k+1时,不等式也成立.由()()可知,原不等式对一切n2,nN*均成立. 错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时,只增加一项,求和式中最后一项即为第几项的通项,所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知,Sn=1+,nN,用数学归纳法证明: 1+本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,不等式左端增加了
3、2k项,而不是只增加了这一项,否则证题思路必然受阻.()当n=2时, =1+=1+,命题成立.由()()可知,原不等式对一切n2,nN均成立.方法归纳 本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,一定要注意分析清楚命题的结构特征,即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.知识点二: 比较法例3 求证:本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,关键的是证明,为证此,我们采用了不等式证明方法中的比较法.()当n=1时,左式=1,右式=,左式=右式;当n=2时,左式=1+,右式=;,左式右式.当n=1或n=2时,不等式成立.()假设当n=k(k1)时,不等式成立,即左式=1+0,=右式.由不等
4、式的传递性,可得左式右式,当n=k+1时,不等式也成立.由()()可得,对一切nN,不等式都成立. 在用数学归纳法证明不等式的过程中,我们经常因思维定式认为只能做代数变形,比较法是一种综合证明法,不能在数学归纳法中使用,这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用,究竟选择哪种方法要因具体题目而定.知识点三: 放缩法例4 证明:,n2,nN.本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中,在证明时,使用了均值定理进行放缩.()当n=2时,左边=,右边=左边Tn.要证SnTn,只需证32n+1+2n-63n2+11n,即证2n+1n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等
5、式,从而将命题简化.an=3n+2,=32n+2,Sn=a2+a4+a8+a=3(2+4+8+2n)+2n=32n+1+2n-6.而Tn=n(9+an)=3n2+11n.3n2+11n,即证2n+1n2+3n+2.用数学归纳法来证明:()当n=4时,S4=98,T4=92,S4T4成立.()假设当n=k(k4)时,结论成立,就是2k+1k2+3k+2,那么2k+2-(k+1)2+3(k+1)+22(k2+3k+2)-(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k-1).k4,(k+2)(k-1)0.2k+2(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说,当n=k+1时,SnTn也成立.由()()知
6、,对n4,SnTn都成立. 本题用数学归纳法证明2n+1n2+3n+2,第二步采用的是作差比较法:作差利用归纳假设变形(因式分解)定号.这比通常的“作差变形定号”多了利用归纳假设这一步,这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.巧解提示 也可不用数学归纳法来证明2n+1n2+3n+2(n4),而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n4时,2n+1=22n=2(1+1)n=2()2(=n2+3n+4知识点五: 单调性例6 已知数列an中,所有项都是正数,且an+1an-a2n,求证:an0,a20,可得a11,命题成立.()假设当n=k(k1)时命题成立,即ak则当n=k+1时,ak+1
7、ak-a2k=ak(1-ak),ak1- 由于以上二式不是同向不等式,所以无法完成由k到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x2+x的单调性进行证明:函数f(x)=-x2+x的最大值为f()=,且在(-,上为增函数.而a2a1-a12=f(a1),故n=2时命题也成立.()假设n=k(k2)时,命题成立,即ak因为函数f(x)=-x2+x在(-,上为增函数,所以由ak及ak+1ak-a2k得ak+1f(ak)f(,即ak+1所以当n=k+1时,命题也成立.根据()()可知,对任何nN*,an知识点六: 活用起点的位置例7 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于,又当x时,f(
8、x)(1)求a的值;(2)设0a1,an+1=f(an),nN*,证明:在用数学归纳法证明不等式的过程中,充分利用了数列递推关系式an+1=f(an)= a2n+an的函数单调性,需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.(1)解:由于f(x)=ax,所以,即a21.又x时f(x)所以解得a1.a=1.(2)证明:()当n=1时,0,不等式00,x(0,),所以0a2=f(a1)故n=2时不等式也成立.()假设n=k(k2)时,不等式0ak成立,因为f(x)=x-x2的对称轴为x=,知f(x)在0,为增函数,所以由0得0f(ak),于是有0ak+1-根据()()可知,对任何nN*,不等式an成立. 将起点的位置推移至2的目的,就是要将ak和置于函数f(x)的单调区间0,内,从而由0).问题探究交流讨论探究 问题1 我们已经学习过贝努利不等式(1+x)n1+nx的证明,如果我们加强条件,如:已知x-1,且x0,nN,n2.如何来证明不等式(1+x)n1+nx.证明的方法有哪些呢?探究过程:老师:首先验证n=2时的情况.(1)当n=2时,左边=(1+x)2=1+2x+x2,右边=1+2x,因x20,则原不等式成立.
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