数学知识点新人教A版高中数学选修45《数学归纳法》word教案2篇总结Word格式文档下载.docx

1、（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围 数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散 在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？典题热题知识点一： 命题的结构特征例1 求证：,n2,nN.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不是第k项，应是第2k项，数列各项分母

2、是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了, ,共三项，而不是只增加一项.证明：（）当n=2时，右边=+，不等式成立.（）假设当n=k（k2,kN）时命题成立，即.则当n=k+1时，=所以当n=k+1时，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式对一切n2,nN*均成立. 错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知，Sn=1+,nN，用数学归纳法证明： 1+本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了

3、2k项，而不是只增加了这一项，否则证题思路必然受阻.（）当n=2时， =1+=1+，命题成立.由（）（）可知，原不等式对一切n2,nN均成立.方法归纳 本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.知识点二： 比较法例3 求证：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.（）当n=1时，左式=1，右式=，左式=右式;当n=2时，左式=1+,右式=;,左式右式.当n=1或n=2时，不等式成立.（）假设当n=k（k1）时，不等式成立，即左式=1+0,=右式.由不等

4、式的传递性，可得左式右式，当n=k+1时，不等式也成立.由（）（）可得，对一切nN,不等式都成立. 在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.知识点三： 放缩法例4 证明：，n2,nN.本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，在证明时，使用了均值定理进行放缩.（）当n=2时，左边=，右边=左边Tn.要证SnTn，只需证32n+1+2n-63n2+11n，即证2n+1n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等

5、式，从而将命题简化.an=3n+2，=32n+2，Sn=a2+a4+a8+a=3（2+4+8+2n）+2n=32n+1+2n-6.而Tn=n（9+an）=3n2+11n.3n2+11n，即证2n+1n2+3n+2.用数学归纳法来证明：（）当n=4时，S4=98,T4=92,S4T4成立.（）假设当n=k（k4）时，结论成立，就是2k+1k2+3k+2，那么2k+2-（k+1）2+3（k+1）+22（k2+3k+2）-（k2+5k+6）=k2+k-2=（k+2）（k-1）.k4,（k+2）（k-1）0.2k+2（k+1）2+3（k+1）+2.这就是说，当n=k+1时，SnTn也成立.由（）（）知

6、，对n4,SnTn都成立. 本题用数学归纳法证明2n+1n2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差利用归纳假设变形（因式分解）定号.这比通常的“作差变形定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.巧解提示 也可不用数学归纳法来证明2n+1n2+3n+2（n4），而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n4时，2n+1=22n=2（1+1）n=2（）2（=n2+3n+4知识点五： 单调性例6 已知数列an中，所有项都是正数，且an+1an-a2n，求证：an0,a20，可得a11，命题成立.（）假设当n=k（k1）时命题成立，即ak则当n=k+1时，ak+1

7、ak-a2k=ak（1-ak），ak1- 由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k到（k+1）的证明.所以我们可以利用函数f（x）=-x2+x的单调性进行证明：函数f（x）=-x2+x的最大值为f（）=，且在（-,上为增函数.而a2a1-a12=f（a1），故n=2时命题也成立.（）假设n=k（k2）时，命题成立，即ak因为函数f（x）=-x2+x在（-,上为增函数，所以由ak及ak+1ak-a2k得ak+1f（ak）f（,即ak+1所以当n=k+1时，命题也成立.根据（）（）可知，对任何nN*，an知识点六： 活用起点的位置例7 已知函数f（x）=ax-x2的最大值不大于，又当x时，f（

8、x）（1）求a的值；（2）设0a1,an+1=f（an）,nN*,证明:在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式an+1=f（an）= a2n+an的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.（1）解：由于f（x）=ax,所以,即a21.又x时f（x）所以解得a1.a=1.（2）证明：（）当n=1时，0，不等式00,x（0,）,所以0a2=f（a1）故n=2时不等式也成立.（）假设n=k（k2）时，不等式0ak成立，因为f（x）=x-x2的对称轴为x=,知f（x）在0,为增函数，所以由0得0f（ak）,于是有0ak+1-根据（）（）可知，对任何nN*，不等式an成立. 将起点的位置推移至2的目的，就是要将ak和置于函数f（x）的单调区间0,内，从而由0）.问题探究交流讨论探究 问题1 我们已经学习过贝努利不等式（1+x）n1+nx的证明，如果我们加强条件，如：已知x-1，且x0，nN，n2.如何来证明不等式（1+x）n1+nx.证明的方法有哪些呢？探究过程:老师：首先验证n=2时的情况.（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x20，则原不等式成立.