浅析射影几何及其应用Word文档下载推荐.docx

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射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。

射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。

射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。

在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。

然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。

此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。

在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。

但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。

一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。

所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理：

1、过两点有且只有一条直线

2、两条直线有且只有一个交点

这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。

这两条公里是何其相似，这与对偶原理有联系，实际上这是对偶原理的根本来源，其基本思想是：

把线和点看作是对等的两类元素，这在中学几何中几乎是无法理解的。

但是通过这样，可以将点和线定义成两种元素，两条公理可以统一为：

有且只有一个元素与另外两个不同种元素相关联。

这里“相关联”的意思是“点在直线上”或“直线通过点”。

所谓的射影变换，就是在一次或多次点光源或线光源的投影下进行的变换。

如图表示的是在点光源（O为光源，射影点）和平行光源下进行的射影变换。

下面引入交比的概念。

直线上四个点（可以是无穷远点）组成的点列（有顺序）A、B、C、D的交比定义为

需要注意的是这里的线段都是有向线段，即需先规定直线的正方向。

交比的最基本的性质是：

在射影变换下交比不变。

交比的不变性在射影几何中有广泛的应用，在二次曲线中也有涉及。

并且，若两条直线上的对应点都具有交比不变的性质，那么这个对应无论是怎么确定的（即使是非投影的方法）都可叫做射影对应。

与此同时，我们还可定义出直线列、面列的交比，都可变成一条直线通过他们时的四个交点的交比，这里不详尽讨论。

2、笛沙格定理

笛沙格定理有空间和平面两种形式，但其本质是相同的，内容如下：

两个（或同一个）平面内有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

空间形式的笛沙格定理易于证明。

空间形式的笛沙格定理的逆定理也成立，可以用同一法给出证明：

值得一提的是，笛沙格定理的对偶定理是它的逆定理。

平面中的笛沙格定理可以看做是空间图形“压下去了”，但是实际叙述中有很大难度，是否严谨也有待考究。

平面中的证明需要用到梅涅劳斯定理，利用它也可以对空间图形进行证明。

由于超出高考范围，这里不再深究，感兴趣的同学可以查阅资料进行探究。

以上是平面中笛沙格定理的一个证明。

来源：

XX百科

3、对偶原理

对偶原理是射影几何中最引人注目的一个结论之一。

其思想的精髓所在，早已超出了经典几何学，延伸到物理、化学等学科中。

在数学中，对偶原理被描述为：

如果在一个射影几何学定理（正确的）中把点与直线的概念对换一下，把点的共线定义换成线的共点定义，所得命题仍然是正确的。

这就是为什么要将点和线之间的关系描述为“相关联的”。

下面所要介绍的布列安桑定理和帕斯卡定理就是一组对偶定理。

（梅涅劳斯定理虽然和塞瓦定理形式相似，但他们属于度量几何学，不属于射影几何学的范畴）

物理学中对偶原理也有应用。

例如在电磁学中，均匀导电媒质中的恒定电场与均匀介质中的静电场对偶，电流密度矢量J与电位移矢量D，电流I与电荷量q对偶，描述的也是点与线的关系。

经典物理学中的最高成就，除了牛三大运动定律，就是麦克斯韦（J.Maxwell，1831-1879）方程组，具有极强的对称性，描述了电与磁之间的关系。

只可惜天妒英才，这位伟大的物理学家在1865年提出后不久就去世了。

在爱因斯坦（AlbertEinstein,1879-1955）提出相对论后，许多经典物理学中的公式和定义被改写（包括牛顿三大定律，甚至对空间和时间的概念），惟一没有变化的就是麦克斯韦方程组。

具有优美数学形式，描述了自然界的本质的方程，历经沧桑之后仍能保持其本质，也是理所当然的。

对偶原理是自然界最基本的原理之一，事实上，能够被称为“原理”的命题寥寥无几。

4、二次曲线在射影几何上的应用

二次曲线是解析几何中研究的一个重要内容，有许多种定义方法。

为了更好研究它的性质，给出几种定义方法：

1、平面中与两个定点、的距离之和等于定值的动点P的轨迹叫做椭圆。

这是我们最熟悉的一种椭圆的定义方式。

同样，到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹称为双曲线。

这两个定点叫做焦点。

抛物线的焦点可以理解在一个无穷远点处。

我们初中学过的反比例函数的图像也叫做双曲线，和这里的双曲线是不是一样呢？

事实上，反比例函数是双曲线的一种特殊形式：

等轴双曲线。

对勾函数实际上也是双曲线，并且有两条对称轴（以前可能以为它只有对称中心）。

2、平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为定值e的点的轨迹。

e就是我们熟悉的离心率，定点就是二次曲线的焦点，e=1时为抛物线，e>

1时为双曲线，e<

1时为椭圆。

3、到两个顶点斜率之积为定值的点的轨迹。

定值大于0时为双曲线，小于0为椭圆。

特别地，定值为-1时为圆。

4、几何定义：

用一个平面去截一个上下圆锥面，得到的交线就是二次曲线。

因为这个定义，二次曲线也被叫做圆锥曲线。

圆锥曲线这个名词实际上更常用一些。

将第一种定义与这种定义统一有一个非常巧妙的证明：

丹德林的球

5、形如的方程表示的曲线叫二次曲线。

这就是二次曲线的解析定义。

二次曲线和这种方程是一一对应的。

下面将从两个对偶的方面研究二次曲线的射影定义。

圆是一种特殊的圆锥曲线，圆锥曲线可以定义为：

一个圆在平面上的投影。

但这并不是纯粹的射影定义，因为圆是度量几何的内容。

众所周知，圆有一个这样的度量性质：

一给定圆弧对的圆周角相等。

考虑圆周上的四个点A、B、C、D，它就和交比这个射影的概念有关了。

连接四个点与圆上的第五点O的四条直线a,b,c,d将有交比（ab,cd）并且这个交比不取决于O点的位置。

现在把圆射影成任意二次曲线K，交比在射影中是不变的，这样引出：

把二次曲线K上任意四点A、B、C、D和第五个点O用直线a、b、c、d连接起来，交比与O的位置无关。

二次曲线这些射影性质，启发了我们对二次曲线的作图采取更一般的方法：

先定义通过O的所有直线为一线束。

二次曲线上有O，O’两点，通过他们的线束可以建立这样的一一对应：

O的线束的任意四条直线a、b、c、d与O’的线束的对应直线有相同的交比，这一对应被称为线束之间的射影对应。

显然这是点与点之间的射影对应的对偶定义。

二次曲线的纯粹射影定义为：

二次曲线是射影对应的线束中相应直线交点的轨迹。

（二次曲线是点的轨迹）

射影定义的圆

射影定义的等轴双曲线（橙色渐近线）

用射影定义椭圆并不是很方便，因为交比并不是一个可以直接度量的量。

并且交比趋向无穷时，直线会收缩在第一个点处。

下面从另一个方面研究二次曲线的性质。

容易证明二次曲线这样一个基本的射影性质：

二次曲线任意的四个固定的切线与第五个切线的交点的交比，与第五个点的位置无关。

之所以说容易，是因为很容易在圆中证明这一性质，而射影后交比不变。

这个定理启发我们用上一个作图方法的对偶方法。

如果两条直线上的点存在着射影对应（无论它是怎么确定的），那么它上面的四对对应点有相同的交比。

这也被称做点类之间的射影对应。

它表明：

一个二次曲线K（看做是它的切线族）是由两条射影对应的直线对应点的连线组成的。

它与上面定义的椭圆有一个同样的弊端，即交比趋于无穷时，直线会收缩于一条定直线。

（二次曲线是线曲线）

比较一下上面两种定义方法：

Ⅰ一个二次曲线是由点集组成的：

它是两个射影对应的线束中对应直线的交点。

Ⅱ一个二次曲线是由直线集组成的：

它是两个射影对应的点类中连接对应点的直线。

以上两种定义方法都是有些复杂的，但是它却指出了这样一个结论：

五点确定一条二次曲线。

只要把其中两个点看做射影点，剩下三个点用于计算交比即可。

这是前几种非解析的定义办法中难以做到的。

5、布列安桑定理和帕斯卡定理

布列安桑定理：

六条边都和一条二次曲线相切的六边形的三条对角线三线共点。

帕斯卡定理：

二次曲线的内接六边形的三对对边（所在直线）的交点共线。

这里的六边形可以是任何形状，甚至是重叠的，这里的交点当然也包括无穷远点。

显然这两个定理是对偶的。

用其他初等几何的方法也可以给出这两个定理的证明，但是利用射影几何显得更为直接简洁。

我们可以把其中的一条边投影到无穷远处（这是允许的），从而只需对一个特殊情形进行证明。

但这里的证明技巧不是所要求的，感兴趣的同学可查阅相关资料。

6、二次曲线蝴蝶定理

蝴蝶定理：

设M为二次曲线的弦PQ的中点，过M作两条弦AB和CD，若AD和BC分别相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

这个命题作为一个征解问题最早出现在1815年英国一本杂志《男士日记》。

登出的当年,英国一位自学成才的数学教师W.G.霍纳给出了第一个证明，证明过程完全是初等的；

另一证明由理查德·

泰勒给出。

另一种早期的证明由M.布兰德在《几何问题》（1827）一书中给出。

最为简便的证法是利用射影几何的证法（也就是我们要给出的证法），英国的J·

开世在（《近世几何学初编》，李俨译，上海商务印书馆，1956）给出，只用了一句话，就是线束的交比。

1981年，《Crux》杂志刊登K.萨蒂亚纳拉亚纳利用解析几何给出一种较为简单的方法（直线束和二次曲线束）。

三、总结

本次综合性学习的全部内容就是关于射影几何的基本知识，各个小组成员通力合作，积极思考，尽管在探究过程中不时遇到困难，但是在证明和绘图的技巧上进行了详细深入的讨论后，并且善于利用信息技术进行探究，最终各个问题都得到了圆满的解决，在此要向各位组员和提供宝贵建议的指导老师一并表示衷心的感谢。

通过这次研究性学习，大家对于经典几何学的一个重要分支——射影几何，进行了探究，增长了自己的知识面，同时加深了对数学的精华部分的理解和抽象思维能力，陶冶了数学情操，这对平时解题也是大有裨益的。

射影几何与中学几何的联系，给我们提供了解决中学几何问题的一些办法。

对射影几何有所了解，就可以站在更高层面上认识几何的本质、内在联系和研究方法。

总之，认识射影几何的基本特性、研究方法，加深空间的概念，可以为进一步学习近代数学奠定好基础。

在理论和实践结合上了解射影几何，就可以更深入掌握和驾驭中学几何的含义。

小组成员懂得射影几何和中学几何的内在联系，扩大了对几何学的眼界，就会有助于我们在几何学的全局与整体角度