浅析射影几何及其应用Word文档下载推荐.docx

1、射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交

2、的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理：1、 过两点有且只有一条直线2、 两条直线有且只有一个交点这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公里是何其相似，这与对偶原理有联系，实际上这是对偶原理的根本来源，其基本思想是：把线和点看作是对等的两类元素，这在中学几何中几乎是无法理解的。但是通过这样，可以将点和线定义成两种元素，两条

3、公理可以统一为：有且只有一个元素与另外两个不同种元素相关联。这里“相关联”的意思是“点在直线上”或“直线通过点”。 所谓的射影变换，就是在一次或多次点光源或线光源的投影下进行的变换。如图表示的是在点光源（O为光源，射影点）和平行光源下进行的射影变换。下面引入交比的概念。直线上四个点（可以是无穷远点）组成的点列（有顺序）A、B、C、D的交比定义为需要注意的是这里的线段都是有向线段，即需先规定直线的正方向。交比的最基本的性质是：在射影变换下交比不变。交比的不变性在射影几何中有广泛的应用，在二次曲线中也有涉及。并且，若两条直线上的对应点都具有交比不变的性质，那么这个对应无论是怎么确定的（即使是非投影

4、的方法）都可叫做射影对应。与此同时，我们还可定义出直线列、面列的交比，都可变成一条直线通过他们时的四个交点的交比，这里不详尽讨论。2、笛沙格定理笛沙格定理有空间和平面两种形式，但其本质是相同的，内容如下：两个（或同一个）平面内有两个三角形ABC、DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。空间形式的笛沙格定理易于证明。空间形式的笛沙格定理的逆定理也成立，可以用同一法给出证明：值得一提的是，笛沙格定理的对偶定理是它的逆定理。平面中的笛沙格定理可以看做是空间图形“压下去了”，但是实际叙述中有很大难度，是否严谨也有待考究。平面中的

5、证明需要用到梅涅劳斯定理，利用它也可以对空间图形进行证明。由于超出高考范围，这里不再深究，感兴趣的同学可以查阅资料进行探究。以上是平面中笛沙格定理的一个证明。来源：XX百科3、对偶原理对偶原理是射影几何中最引人注目的一个结论之一。其思想的精髓所在，早已超出了经典几何学，延伸到物理、化学等学科中。在数学中，对偶原理被描述为：如果在一个射影几何学定理（正确的）中把点与直线的概念对换一下，把点的共线定义换成线的共点定义，所得命题仍然是正确的。这就是为什么要将点和线之间的关系描述为“相关联的”。下面所要介绍的布列安桑定理和帕斯卡定理就是一组对偶定理。（梅涅劳斯定理虽然和塞瓦定理形式相似，但他们属于度量

6、几何学，不属于射影几何学的范畴） 物理学中对偶原理也有应用。例如在电磁学中，均匀导电媒质中的恒定电场与均匀介质中的静电场对偶，电流密度矢量J与电位移矢量D，电流I与电荷量q对偶，描述的也是点与线的关系。经典物理学中的最高成就，除了牛三大运动定律，就是麦克斯韦（J.Maxwell，1831-1879）方程组，具有极强的对称性，描述了电与磁之间的关系。只可惜天妒英才，这位伟大的物理学家在1865年提出后不久就去世了。在爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出相对论后，许多经典物理学中的公式和定义被改写（包括牛顿三大定律，甚至对空间和时间的概念），惟一没有变化的就是麦克斯

7、韦方程组。具有优美数学形式，描述了自然界的本质的方程，历经沧桑之后仍能保持其本质，也是理所当然的。对偶原理是自然界最基本的原理之一，事实上，能够被称为“原理”的命题寥寥无几。4、二次曲线在射影几何上的应用 二次曲线是解析几何中研究的一个重要内容，有许多种定义方法。为了更好研究它的性质，给出几种定义方法：1、 平面中与两个定点、的距离之和等于定值的动点P的轨迹叫做椭圆。这是我们最熟悉的一种椭圆的定义方式。同样，到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹称为双曲线。这两个定点叫做焦点。抛物线的焦点可以理解在一个无穷远点处。我们初中学过的反比例函数的图像也叫做双曲线，和这里的双曲线是不是一样呢？事实上，反

8、比例函数是双曲线的一种特殊形式：等轴双曲线。对勾函数实际上也是双曲线，并且有两条对称轴（以前可能以为它只有对称中心）。2、 平面内到定点F的距离与到定直线的距离之比为定值e的点的轨迹。e就是我们熟悉的离心率，定点就是二次曲线的焦点，e=1时为抛物线，e1时为双曲线，e1时为椭圆。3、 到两个顶点斜率之积为定值的点的轨迹。定值大于0时为双曲线，小于0为椭圆。特别地，定值为-1时为圆。4、 几何定义：用一个平面去截一个上下圆锥面，得到的交线就是二次曲线。因为这个定义，二次曲线也被叫做圆锥曲线。圆锥曲线这个名词实际上更常用一些。将第一种定义与这种定义统一有一个非常巧妙的证明：丹德林的球5、 形如的方

9、程表示的曲线叫二次曲线。这就是二次曲线的解析定义。二次曲线和这种方程是一一对应的。下面将从两个对偶的方面研究二次曲线的射影定义。圆是一种特殊的圆锥曲线，圆锥曲线可以定义为：一个圆在平面上的投影。但这并不是纯粹的射影定义，因为圆是度量几何的内容。众所周知，圆有一个这样的度量性质：一给定圆弧对的圆周角相等。考虑圆周上的四个点A、B、C、D，它就和交比这个射影的概念有关了。连接四个点与圆上的第五点O的四条直线a,b,c,d将有交比（ab,cd）并且这个交比不取决于O点的位置。现在把圆射影成任意二次曲线K，交比在射影中是不变的，这样引出：把二次曲线K上任意四点A、B、C、D和第五个点O用直线a、b、c

10、、d连接起来，交比与O的位置无关。二次曲线这些射影性质，启发了我们对二次曲线的作图采取更一般的方法：先定义通过O的所有直线为一线束。二次曲线上有O，O两点，通过他们的线束可以建立这样的一一对应：O的线束的任意四条直线a、b、c、d与O的线束的对应直线有相同的交比，这一对应被称为线束之间的射影对应。显然这是点与点之间的射影对应的对偶定义。二次曲线的纯粹射影定义为：二次曲线是射影对应的线束中相应直线交点的轨迹。（二次曲线是点的轨迹）射影定义的圆射影定义的等轴双曲线（橙色渐近线）用射影定义椭圆并不是很方便，因为交比并不是一个可以直接度量的量。并且交比趋向无穷时，直线会收缩在第一个点处。 下面从另一个

11、方面研究二次曲线的性质。容易证明二次曲线这样一个基本的射影性质：二次曲线任意的四个固定的切线与第五个切线的交点的交比，与第五个点的位置无关。之所以说容易，是因为很容易在圆中证明这一性质，而射影后交比不变。这个定理启发我们用上一个作图方法的对偶方法。如果两条直线上的点存在着射影对应（无论它是怎么确定的），那么它上面的四对对应点有相同的交比。这也被称做点类之间的射影对应。它表明：一个二次曲线K（看做是它的切线族）是由两条射影对应的直线对应点的连线组成的。它与上面定义的椭圆有一个同样的弊端，即交比趋于无穷时，直线会收缩于一条定直线。（二次曲线是线曲线）比较一下上面两种定义方法：一个二次曲线是由点集组

12、成的：它是两个射影对应的线束中对应直线的交点。一个二次曲线是由直线集组成的：它是两个射影对应的点类中连接对应点的直线。 以上两种定义方法都是有些复杂的，但是它却指出了这样一个结论：五点确定一条二次曲线。只要把其中两个点看做射影点，剩下三个点用于计算交比即可。这是前几种非解析的定义办法中难以做到的。5、布列安桑定理和帕斯卡定理布列安桑定理：六条边都和一条二次曲线相切的六边形的三条对角线三线共点。帕斯卡定理：二次曲线的内接六边形的三对对边（所在直线）的交点共线。这里的六边形可以是任何形状，甚至是重叠的，这里的交点当然也包括无穷远点。显然这两个定理是对偶的。用其他初等几何的方法也可以给出这两个定理的

13、证明，但是利用射影几何显得更为直接简洁。我们可以把其中的一条边投影到无穷远处（这是允许的），从而只需对一个特殊情形进行证明。但这里的证明技巧不是所要求的，感兴趣的同学可查阅相关资料。 6、二次曲线蝴蝶定理 蝴蝶定理：设M为二次曲线的弦PQ的中点，过M作两条弦AB和CD，若AD和BC分别相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 这个命题作为一个征解问题最早出现在1815年英国一本杂志男士日记。登出的当年,英国一位自学成才的数学教师W.G.霍纳给出了第一个证明，证明过程完全是初等的；另一证明由理查德泰勒给出。另一种早期的证明由M.布兰德在几何问题（1827）一书中给出。最为简便的证法是利用射影几何的

14、证法（也就是我们要给出的证法），英国的J开世在（近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 ，1956 ）给出，只用了一句话，就是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登K.萨蒂亚纳拉亚纳利用解析几何给出一种较为简单的方法（直线束和二次曲线束）。三、总结 本次综合性学习的全部内容就是关于射影几何的基本知识，各个小组成员通力合作，积极思考，尽管在探究过程中不时遇到困难，但是在证明和绘图的技巧上进行了详细深入的讨论后，并且善于利用信息技术进行探究，最终各个问题都得到了圆满的解决，在此要向各位组员和提供宝贵建议的指导老师一并表示衷心的感谢。通过这次研究性学习，大家对于经典几何学的一个重要分支射影几何，进行了探究，增长了自己的知识面，同时加深了对数学的精华部分的理解和抽象思维能力，陶冶了数学情操，这对平时解题也是大有裨益的。射影几何与中学几何的联系，给我们提供了解决中学几何问题的一些办法。对射影几何有所了解，就可以站在更高层面上认识几何的本质、内在联系和研究方法。 总之，认识射影几何的基本特性、研究方法，加深空间的概念，可以为进一步学习近代数学奠定好基础。在理论和实践结合上了解射影几何，就可以更深入掌握和驾驭中学几何的含义。小组成员懂得射影几何和中学几何的内在联系，扩大了对几何学的眼界，就会有助于我们在几何学的全局与整体角度