八年级数学动点问题专题训练.docx

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八年级数学动点问题专题训练

动点问题专题训练

1、（09包头）如图，已知

中，

厘米，

厘米，点

为

的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，

与

是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使

与

全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿

三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在

的哪条边上相遇？

解：

（1）①∵

秒，

∴

厘米，∵

厘米，点

为

的中点，

∴

厘米．又∵

厘米，

∴

厘米，∴

．

又∵

，∴

，

∴

．（4分）

②∵

，∴

，

又∵

，

，则

，

∴点

，点

运动的时间

秒，

∴

厘米/秒．（7分）

（2）设经过

秒后点

与点

第一次相遇，

由题意，得

，解得

秒．

∴点

共运动了

厘米．∵

，

∴点

、点

在

边上相遇，∴经过

秒点

与点

第一次在边

上相遇．（12分）

2、（09齐齐哈尔）直线

与坐标轴分别交于

两点，动点

同时从

点出发，同时到达

点，运动停止．点

沿线段

运动，速度为每秒1个单位长度，点

沿路线

→

→

运动．

（1）直接写出

两点的坐标；

（2）设点

的运动时间为

秒，

的面积为

，求出

与

之间的函数关系式；

（3）当

时，求出点

的坐标，并直接写出以点

为顶点的平行四边形的第四个顶点

的坐标．

解

（1）A（8，0）B（0，6）1分

（2）

点

由

到

的时间是

（秒）

点

的速度是

（单位/秒）1分

当

在线段

上运动（或0

）时，

1分

当

在线段

上运动（或

）时，

如图，作

于点

，由

，得

，1分

1分

（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）

（3）

1分

3分

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：

y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：

（1）⊙P与x轴相切.

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），

与y轴交于B（0，－8），

∴OA=4，OB=8.

由题意，OP=－k，

∴PB=PA=8+k.

在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2，

∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，

∴⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.

∵△PCD为正三角形，∴DE=

CD=

，PD=3，

∴PE=

.

∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，

∴△AOB∽△PEB，

∴

，

∴

∴

，

∴

，

∴

.

当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P（0,－

－8），

∴k=－

－8，

∴当k=

－8或k=－

－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.

4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，AP=，点Q到AC的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与

t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成

为直角梯形？

若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

解：

（1）1，

；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ=CP=t，∴

．

由△AQF∽△ABC，

，

得

．∴

．

∴

，

即

．

（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得

，

即

．解得

．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ=90°．

由△AQP ∽△ABC，得

，

即

．解得

．

（4）

或

．

①点P由C向A运动，DE经过点C．

连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

，

．

由

，得

，解得

．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

，

】

6（09河南））如图，在

中，

，

．点

是

的中点，过点

的直线

从与

重合的位置开始，绕点

作逆时针旋转，交

边于点

．过点

作

交直线

于点

，设直线

的旋转角为

．

（1）①当

度时，四边形

是等腰梯形，此时

的长为；

②当

度时，四边形

是直角梯形，此时

的长为；

（2）当

时，判断四边形

是否为菱形，并说明理由．

解

（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分

（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，

∴BC//ED∵CE//AB,

∴四边形EDBC是平行四边形.……………………6分

在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,

∴∠A=300.

∴AB=4,AC=2

.

AO=

=

.

在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.

∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形……………………10分

7（09济南）如图，在梯形

中，

动点

从

点出发沿线段

以每秒2个单位长度的速度向终点

运动；动点

同时从

点出发沿线段

以每秒1个单位长度的速度向终点

运动．设运动的时间为

秒．

（1）求

的长．

（2）当

时，求

的值．

（3）试探究：

为何值时，

为等腰三角形．

解：

（1）如图①，过

、

分别作

于

，

于

，则四边形

是矩形

∴

1分

在

中，

2分

在

中，由勾股定理得，

∴

3分

（2）如图②，过

作

交

于

点，则四边形

是平行四边形

∵

∴

∴

∴

4分

由题意知，当

、

运动到

秒时，

∵

∴

又

∴

∴

5分

即

解得，

6分

（3）分三种情况讨论：

①当

时，如图③，即

∴

7分

②当

时，如图④，过

作

于

解法一：

由等腰三角形三线合一性质得

在

中，

又在

中，

∴

解得

8分

解法二：

∵

∴

∴

即

∴

8分

③当

时，如图⑤，过

作

于

点.

解法一：

（方法同②中解法一）

解得

解法二：

∵

∴

∴

即

∴

综上所述，当

、

或

时，

为等腰三角形9分

8（09江西）如图1，在等腰梯形

中，

，

是

的中点，过点

作

交

于点

．

，

.

（1）求点

到

的距离；

（2）点

为线段

上的一个动点，过

作

交

于点

，过

作

交折线

于点

，连结

，设

.

①当点

在线段

上时（如图2），

的形状是否发生改变？

若不变，求出

的周长；若改变，请说明理由；

②当点

在线段

上时（如图3），是否存在点

，使

为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足要求的

的值；若不存在，请说明理由.

解

（1）如图1，过点

作

于点

1分

∵

为

的中点，

∴

在

中，

∴

2分

∴

即点

到

的距离为

3分

（2）①当点

在线段

上运动时，

的形状不发生改变．

∵

∴

∵

∴

，

同理

4分

如图2，过点

作

于

，∵

∴

∴

∴

则

在

中，

∴

的周长=

6分

②当点

在线段

上运动时，

的形状发生改变，但

恒为等边三角形．

当

时，如图3，作

于

，则

类似①，

∴

7分

∵

是等边三角形，∴

此时，

8分

当

时，如图4，这时

此时，

当

时，如图5，

则

又

∴

因此点

与

重合，

为直角三角形．

∴

此时，

综上所述，当

或4或

时，

为等腰三角形．10分

9（09兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标

（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在

（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

解：

（1）

（1，0）1分

点P运动速度每钟1个单位长度．2分

（2）过点

作BF⊥y轴于点

，

⊥

轴于点

，则

＝8，

．

∴

．

在Rt△AFB中，

3分

过点

作

⊥

轴于点

，与

的延长线交于点

．

∵

∴△ABF≌△BCH．

∴

．

∴

．

∴所求C点的坐标为（14，12）．4分

（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥

轴于点N，

则△APM∽△ABF．

∴

．

．

∴

．∴

．

设△OPQ的面积为

（平方单位）

∴

（0≤

≤10）5分

说明:

未注明自变量的取值范围不扣分．

∵

<0∴当

时，△OPQ的面积最大．6分

此时P的坐标为