版高考数学一轮复习专题训练微专题4 高考中的立体几何问题 含最新模拟题 Word版含答案文档格式.docx

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.如图,在正三棱柱中分别为的中点分别为的中点,则直线与所成角的余弦值为（）

.

二、填空题（每小题分,共分）

.若侧面积为π的圆柱有一外接球,则当球的体积取得最小值时,圆柱的表面积为. 

.如图,在棱长为的正方体中,作以为顶点,分别以为轴,底面圆半径为（<

≤）的圆锥.当半径变化时,正方体挖去三个圆锥部分后,余下的几何体的表面积的最小值是. 

三、解答题（共分）

.（分）如图,四边形为正方形⊥平面∥.

（）若交平面于点,求证;

（）求证⊥平面;

（）求多面体的体积.

.（分）在如图所示的几何体中,矩形所在的平面与平面垂直,四边形是等腰梯形∥为的中点.

（）设的中点为,求证∥平面;

（）设平面将几何体分割成的两个锥体的体积分别为,求与的比值.

.（分）如图,在四棱锥中,底面是矩形⊥平面,△是等腰三角形是上一点,且三棱锥与四棱锥的体积之比为∶与的延长线交于点,连接.

（）求证:

平面⊥平面;

（）若三棱锥的体积为,求线段的长.

.（分）如图,在△中,∠°

∥,将△沿折起得四棱锥,使⊥.

（）若三棱锥的体积为,求四棱锥的表面积.

答案

根据题中三视图知,该多面体是从一个棱长为的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分,因此其表面积为×

×

故选.

观察题中三视图可知该组合体的上面是三棱锥,下面是半径为的半球,其直观图如图所示.

图

解法一如图所示,将组合体中三棱锥“补”成正方体,顶点分别是正方体的棱的中点.取的中点,连接,则⊥平面,由已知得,所以△×

三棱锥的体积×

△×

半球的体积×

π×

π.所以该组合体的体积π.故选.

解法二如图所示,将组合体中的三棱锥“补”成正方体,顶点分别是正方体的棱的中点,取的中点,过和点作截面,则截面将三棱锥分成两个相同的小三棱锥,且△×

所以三棱锥的体积×

半球体积×

π,所以该组合体的体积π.故选.

设正方体的棱长为,则,由正方体的外接球球心为对角线的中点,可知球的半径,因为分别为的中点,所以,所以△为等边三角形△×

.设点到平面的距离为,由等体积法得△×

解得,所以截面圆的半径,解得,故选.

设正四棱柱的高为,表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为的长方体的外接球,设外接球的半径为,则ππ,所以.又（）,所以,解得.故选.

由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥形容器中的细沙的高为×

底面半径为×

故细沙的体积ππ×

（）×

.当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为,设其高为'

则π×

'

解得'

故此圆锥形沙堆的高为,故选.

解法一如图,在原三棱柱的上方,再放一个完全一样的三棱柱,连接'

易得∥∥∥'

那么∠'

或∠'

的补角即直线与所成的角.

设,

则'

连接'

则'

由余弦定理,得∠'

则直线与所成的角为∠'

的补角,其余弦值为.故选.

解法二如图,连接,

设交于点,取的中点,连接,

则∥∥∥,

那么∠或∠的补角即直线与所成的角.

设,则,

所以,又,所以△为正三角形,

故∠°

所以∠即为直线与所成的角,且∠,所以直线与所成角的余弦值为,故选.

π由球体的对称性可知,圆柱的高即球心到圆柱两底面圆心的距离之和,设圆柱的底面半径为,球心到圆柱底面的距离为,外接球的半径为.由球心到圆柱底面的距离、圆柱底面的半径、球的半径之间构成直角三角形,可得.由题设可得π×

π,所以,则≥,当且仅当时取等号,此时球的体积取得最小值.故此时圆柱的表面积表ππππ（）π.

π由题知,余下几何体的表面积由原正方体的表面的剩余部分和个圆锥的侧面组成,其表面积π·

（）（π）π（）,其中<

≤.设（）<

≤,求导并整理得'

（）.当<

≤时<

≤,

（）<

（）（）≤,∴<

∴'

<

故（）在（]上是减函数,则余下几何体的表面积在（]上也是减函数,故当时π.

.（）连接交于,连接,如图所示,∵∥,∴四点共面,∴与相交,又⊂平面,∴与的交点即与平面的交点.（分）

过作∥交于,∵是的中点,∴是的中点,∴.

连接,∵∥,且,∴∥,且,∴四边形是平行四边形,∴是线段的中点,∴.（分）

（）∵⊥平面⊂平面,∴⊥.

∵⊥∩,∴⊥平面,又⊂平面,

∴⊥.（分）

∵⊥,∴四边形为正方形,∴⊥.

∵∩,∴⊥平面.（分）

（）由（）知⊥平面.

∵梯形,

∴多面体梯形·

.（分）

.（）设的中点为,连接.

∵为的中点,

∴∥.（分）

又∥,

∴∥,

∴四边形为平行四边形,

又⊄平面⊂平面,

∴∥平面.（分）

（）过点作⊥于.

∵平面⊥平面,平面∩平面,

∴⊥平面,

∴四边形·

·

同理可证⊥平面,

∴△·

∴.（分）

.（）因为⊥平面,所以⊥.（分）

又底面是矩形,所以⊥.（分）

因为∩,所以⊥平面.（分）

因为⊂平面,所以平面⊥平面.（分）

（）不妨设,则.（分）

因为三棱锥与四棱锥的体积之比为∶,

所以,得,得,得.（分）

则.（分）

易知△∽△,则,即.（分）

所以三棱锥的体积×

解得.

故线段的长为.（分）

.（）翻折前在△中,∠°

∥,

所以⊥,翻折后⊥,所以⊥.（分）

又⊥∩,所以⊥平面.（分）

（）翻折后⊥⊥,所以⊥平面,由（）知⊥,设.

因为∥,所以.

因为三棱锥的体积为,

所以·

△·

解得,（分）

即,易求得∠,则∠,所以△×

（分）

所以四棱锥的表面积×