专题6立体几何中点到面的距离求法基础练习题文档格式.docx
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（2）求点。
到平面P8C的距离儿
6.如图所示在长方体45GA中，AA=2,43=4,AD=6,M,N分别是。
G，4c的中点.
MN〃平而ADDA
（2）求C到平而AMN的距离.
7.直三棱柱ABC—A'
8'
C'
中，底面ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2,AAf=yfb,E为AB中点.
AC'
〃而CE*：
（2）求大到面CE面的距离.
8.如图，在长方体ABCD-AMGA中，43=2，3c=1,A&
=3,M为AA1的
中点，N为CR的中点.
ALVB
MN〃平而A8CQ：
（2）求点2到平面CDW的距离.
所以8C_L平而所以BCLPB.
1112
所以匕•:
枝维p-scD=]xSABCDxPA=-x-x2xBCx2=-BC.
在RMR45中，AB=\,PB=JPA?
+ABi=E1=B
所以$△pe=；
xBCx逐=，8C.
设点D到平面PBC的距离为d,
则」xdx立bc=2bc，解得,/=拽.
3235
所以点E到平面PBC的距离是”.
【点睛】
本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到而的距离，属于常考题型.
2.在
5
【分析】
利用等体积法列方程，解方程求得点B1到平而户的距离.
【详解】
依题意。
流=Jr+（2_1=正，
1V⑶2
•:
A'
BJ/EF=>
A瓦〃平而D】EF,
点Bi到平而D】EF的距离即为点儿到平面D.EF的距离，根据正方体的性质可知EF1Dfi,
设点B1到平而D.EF的距离为〃，即gx3*EFxO]Ex〃=；
xgxA[。
[xA]ExEF
A{D}xA}E~~D^E
即点Bi到平面D\EF的距离为4.5
要求点到平面的距离，可利用等体枳法列方程，通过解方程来求得点面距.
3.
（1）证明见解析：
（2）
（1）证明OP_L平面ABC得出QP_L8C,结合AC_LBC得出8C_L平而PAC：
（2）根据匕-/耽=%..•计算点A到平而P8C的距离.
解：
・.・AP=CP，。
是AC中点，.•.R9_L4C,
由已知得=08?
，:
.PO1OB，
又AC，no8=o,08u平面ABC，「.PO,平面ABC，
POYBC,
/ACIBC.POC\AC=O,POu平面PAC,
8C_L平面尸AC.
（2）解：
设点A到平而P8C的距离为/z,
•.•在RtAOCB中，OC=ylOB2-BC2=1>
则尸2+。
2=叵
3C_L平面P4C,8C_L尸。
，
S.卡
-Dy8r-'
**'
匕-P8C=^P-ABC»
Kpt8c=-SMBCPO=f
・；
S"
比.力=曰一h=呢,即点A到平面PBC的距离为V2.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定，棱锥体积与点到平面的距离计算，属于基础题.
4.
（1）见解析；
（2）点3到平面PQE的距离为之匡.
22
【解析】试题分析：
（1）PC上DE,CDLOE,所以OEJL平面尸CQ；
（2）利用等体积法,
V*PDE=ViDE，所以点B到平而PDE的距离为大史.
试题解析:
（【）证明：
由PC,平面48C,。
石u平面48C,故PC_LO£
由CE=2,CD=DE=e,得△（?
£
>
为等腰直角三角形，故CDLDE.
又PCcCD=C,故。
石，平面尸8.
（，，）由⑴知‘A。
七为等腰直角三角形,"
CE=g
过。
作。
尸垂直CE于尸，易知DF=CF=EF=L又。
石，平面PCD,所以£
）E_LP£
），PD=^PC?
+CD?
=47.
设点B到平面P£
陀的距离为力，即为三棱锥B-PDE的高,
（IlVb-PD£
='
'
p_BDE得%Sy[）E.卜=1S油de，P。
即1.2..尸0.0七./?
=1.2_.8石。
尸尸。
，3232
即ViTx-Jix/?
=1x1x3»
所以。
=—，所以点B到平而PDE的距离为空2.
5.
（1）见解析；
（2）”
2
（1）由底而A8CO为正方形，可得AQ_L平面P48,由平面与平而垂直的判定定理即可证明.
（2）作PO_LA3交A8于。
，易得尸。
_L平而ABCD.可求得匕，由％-比•/）=匕）_W即可求得点D到平而PBC的距离h
•.•四边形A8CO为正方形，
：
-AD±
AB.
又•••A。
_LAE.即AO_L帖,且弘ClAS=A,
，AQ_L平面248,
又〈ADu平面ABCD
，平而PAB_L平而ABCD：
（2）过点尸作PO_L/W交AB于0,如下图所示：
由
（1）知平面248_L平而ABC。
・♦•PO_L平而ABCD
.v_1_161_Q
•Vp_BCD一寸P°
XS瓯D-
又•••Vp_bcd=Vd_pbc
.1c
3„12
冏11I」6
3212
解得力=正
所以点D到平而PBC的距离h=正
本题考查了平而与平面垂直的判定，等体枳法求点到平而的距离,属于基础题.
12
6.
（1）证明见解析：
（2）—.
（1）分别取和A0的中点及/，连接£
M.RV,利用中位线定理可证四边形EMNf是平行四边形，所以EF//MN，再根据线而平行的判定定理，即可证明结果：
（2）以。
为原点，。
4。
。
口分别为乂），逐，建立空间直角坐标系。
一冲2，根据题意可求出a,c,r,ua-M.n点的坐标，进而求出平面AMN的法向量，再根据空间向量中点到平面的距离公式即可求出结果.
分别取。
A和的中点瓦尸，连接
B
则AW〃DC且EW=，OC；
FNHDC&
FN,DC22
所以EM"
FN,且EM=FN,
所以四边形EA/A"
是平行四边形，所以EF//MN,
又EEu平面AO24，MN（Z平面AO24,所以MN〃平面AORA：
2分别为乂乂2,建立空间直角坐标系。
一不z,如图所示:
由题意，则A（6,0.0）,C（0.4.0）.R（0.0,2）,C（0,4.0），A（6,0.2）,
又M,N分别是。
G，AC的中点,
所以M（0,2,I）,N（320）,
所以m=（-3,2,-2）,硒=（-6.2.T）,萌=（0.-2」）；
设平面4MN的法向量为/；
=（x,），,z）,则
n-AM=0[-3x+2y-2z=09
—77=<
，c八，令Z=3，则x=l,y=7：
n-A}N=0[-6x+2y-z=02
所以〃=[1,5,3）,
I™|-9+3|12
设。
到平面4MN的距离为/?
则'
=邛「=-^『=71.
本题主要考查了线而平行的判定定理的应用，以及空间向量的在求点到平面距离中的应用，属于基础题.
7.
（1）证明见解析：
（2）卡.
（1）利用线而平行的判定定理证明即可.
（2）利用面而垂直的判定定理证出而。
七&
_1_而433/‘，过A'
作A'
G_LE?
A'
G的长
即为A'
到面CE*的距离，根据△A'
B'
G=^EB即可求解.
连接3C'
设8C'
n&
C=O,连OE，
则。
上是三角形ABC的中位线，
AC//OE
ACaCEB，=AC//而CEB'
.
OEuCEB'
CE1AB]
（2）=而ABB'
A'
A而CE4上面ABB'
A，
CEA.AA
过H作AG_LEB'
垂足为G,易知AG_LifiiCE3'
则AG的长即为A'
到面CE19的距离，aA'
G与aB'
BE中,
A3'
=20=B'
E，A®
=2>
/2=B'
E,NA'
G=/B'
EB,ZAfGB'
=ZB'
EB，
可知△AB'
GvaB'
EB,所以46=3'
8=后.
本题考考查了线而平行的判定定理、而而垂直的性质定理、求点到面的距离，考察了逻辑推理能力，属于基础题.
8.
（1）证明见解析：
（2）也二
13
（D构造平行四边形AENM,通过线线平行即可证明线而平行：
（2）利用等体枳法，结合棱锥体枳的计算公式，即可求得点而距离.
如图，取CO的中点£
连接AE，EN.
A^~
:
DE=EC,CN=D\N、NE//DD、且NE=>
DD].
VM=2AM,AAJIDD\,：
AMMNE,AM=NE,
.四边形AENM为平行四边形，...MNIIAE.
又•・•AEu平而A8CQ，肠Vz平面A8CQ,；
・MN〃平面ABCD.
（2）设R到平而COM的距离为1,连接
又M到平面D}DC的距离，即为4点到平面D}DC的距离AD.
二mS^CDM'
A=3Srdc,A。
_S"
AO*x3x[6$屈
…”S"
dm-一巫"
713~^3-，F
故点A到平而CDM的距离为包旦.
本题考查线而平行的证明，以及用等体积法求点面距离，属综合基础题.
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