最新2018年全国中考数学试卷分类汇编解直角三角形.docx
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最新2018年全国中考数学试卷分类汇编解直角三角形
一、选择题
1．（2018•山东淄博•4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．B．
C．
D．
【考点】T9：
解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：
计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.15，然后利用计算器求锐角α．
【解答】解：
sinA===0.15，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：
A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：
正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
2．（2018年湖北省宜昌市3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：
∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：
C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
3. （2018四川省绵阳市）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是
（结果保留小数点后两位）（参考数据：
）（ ）A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：
根据题意画出图如图所示：
作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE=x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，故答案为：
B.
【分析】根据题意画出图如图所示：
作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，
AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE=x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2x+2x=30，解之即可得出答案.
二.填空题
3
ABC
1. （2018·重庆（A）·4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，
FG，得到ÐAGE=30°，若AE=EG=2
厘米，则
的边BC的长为 厘米。
【考点】解直角三角形、勾股定理
【解析】过E作EH^AG于H。
3
AE=EG=2 ,ÐAGE=30°.
\GA=2AH=2AE×cos30°=2´2
´ 3=6.
3
2
3
由翻折得BE=AE=2 ,GC=GA=6.
\BC=BE+EG+GC=6+43.
【点评】本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等
2. （2018•湖北黄石•3分）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD米，点A、D、E在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是100（1+ ）米．（结果保留根号）
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=100 ，然后计算AD+BD即可．
【解答】解：
如图，
∵无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在Rt△ACD，
∴AD==100，
在Rt△BCD，
∴AB=AD+BD=100+100=100（1+）．
答：
A、B两点间的距离为）米．故答案为）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
3.（2018·山东泰安·3分）如图，在△ABC，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之
x2
间的函数关系式为S= ．
【分析】可在直角三角形CED中，根据DE、CE的长，求出△BED的面积即可解决问题．
【解答】解：
（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x
∴DE=x，CE=x，
∴BE=10﹣x，
△BED
∴S ×（10﹣x）•x=﹣x2+3x．
∵DF=BF，
△BED
∴S=S = x2 ，
故答案为x2．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4（2018·山东潍坊·3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里
/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号）
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
【解答】解：
如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则PQ（海里），所以PQ，
所以PQ=45（3+）（海里）
所以）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以）（海里）
所以=（小时）故答案是：
．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
5．（2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC
或
的边相切时，⊙P的半径为 ．
【分析】分两种情形分别求解：
如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：
如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6（2018·湖北省武汉·3分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【解答】解：
延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE=AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN=，
∴AM=，
∴DE=，故答案为：
．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．
题号依次顺延三.解答题
1.．（2018•四川凉州•8分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围
200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
（1）MN≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
【分析】
（1）要求MN是否穿过原始森林保护区，也就是求C到MN的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根据题意列方程求解．
【解答】解：
（1）理由如下：
如图，过C作CH⊥AB于H．设CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，则∠CAH=45°，∠CBA=30°．
在Rt△ACH中，AH=CH=x，在Rt△HBC中，tan∠HBC=
∴ ，
∵AH+HB=AB，
∴x+x=600，
解得x= ≈220（米）＞200（米）．
∴MN不会穿过森林保护区．
（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要（y﹣5）天．根据题意得：
=（1+25%）×
解得：
y=25．
经检验知：
y=25是原方程的根．答：
原计划完成这项工程需要25天．
【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．
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