平面向量数系的扩充与复数的引入Word文件下载.docx
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三何聪则
平行鸭讪甩注
交换律：
a+b=
结合律：
（a+b）+c=
减法
求a与b的相反向量
—b的和的运算
43
a—b=a+（—b）
数乘
求实数入与向量a的积的运算
|刊=UUaJ,当心0时，沦与a的方向相同；
当入v0时，七与a的方向相反；
当匸0时，七=0
入（前=；
（入+0a=;
Xa+b）=
3.共线向量定理
向量a（a^0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得
、必记结论
L一般地■首尾顺次相接的多个向址的和等于从第一个向起点指向最后一个向量终点的向量•即A】卷+A^A3++-+AZX=石瓦.持别地•一个封闭图形首尾连接而成的向吐和为零向;
上
2.朴p为线段ah的中点为平面内任一点•则石戸=丄（丽•
•若QF血内不共线的三点・则币+両+PC=O□PABC童心.
•对点漬鋒
一、思考辨析
判断下列结论的正误.（正确的打“V，错误的打“X”）
（1）0的模为0,没有方向.（）
⑵若aIIb,b//c,则a//c.（）
（3）Afi十亦=仏<
）
（心。
与加庶线.方向相同.（）
（5）0•0=0,（）
、牛刀小试
1.若向量a与b不相等，则a与b一定（）
A•有不相等的模B•不共线
C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量
2.如图，已知D,E,F分别是△ABC的边BC,AB,AC的中点，则下列说法正确的是
（）
B-EF=CD
3.
（2014辎殁离考）设M为平行四边形ABCD对角线的交点为平行四边形ABCI）听在平面内任意一点.则页+厉弃一Ct”十Cii等于（）
A.OA4B,2OM
C3OAJD1OM
4.已知a与b是两个不共线向量，且向量a+b与一（b—3a）共线，贝U冶
O热点逋型■分类突破<
〉lei'
.lllli'
M'
LIXMCSFlITI'
I'
I斗斤常点强化认如
考点一
向量的概念
[例1]
（1）给出下列命题:
1若|a|=|b|,则a=b;
2若A,B,C,D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
3若a=b,b=c,贝Ua=c;
4a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b;
其中正确命题的序号是（）
A.②③B.①②
C.③④D.①④
⑵设ao为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a=|a|ao;
②若a与ao平行，则a=|a|ao；
③若a与ao平行且|a|=1,则a=ao.上述命题中，假命题的个数是（）
A.0B.1
C.2D.3
方出・规律
解决向量的概念问题应关注五点
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
⑶共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
⑷向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
aa
⑸非零向量a与两的关系：
0"
|是a方向上的单位向量.
□«
式训练I
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.②两个向量不能比较大小，但它们的能比较大小.③扫=0（入为实数），则入必为零.④人卩为实数，若Za=pb,则a与b共线.其中错误的命题的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
1考点二
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算是每年高考的重点，题型多为选择题和填空题，难度较小，属中低
档题，且主要有以下几个命题角度：
角度一：
考查向量加法或减法的几何意义
[例2]（2012辽宁高考）已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a—b|,则下面结论正确的
是（）
A.a/bB.a丄bC.|a|=|b|D.a+b=a—b
角度二：
向量的线性运算
例3]C^'
lI*新课标全国卷|）讣I）.E*F分别为
△ABCH勺三边"
C,CAdE的屮点•则可十阮=（）
A,/X'
]>
.-—zAI）
C.ADL）,4rliC
角度三：
与三角形相联系求参数
—例L（201「江殊高考）设D.E分别是△4BCII勺边
AB.BC上的点.AD==若DE=A}AB十
do
a.acq,a2为实数—则儿+诡的值为.
角度四：
与平行四边形相联系，研究向量的关系
僧ij5J（2。
I囂・四川高考）如图•ft1行四边形ABCD•对角线
AC-MHD交于点（KAB+AD-a.AO.
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
（1）向量加法或减法的几何意义•向量加法和减法均适合平行四边形法则.
（2）求已知向量的和•一般共起点的向量求和用平行四边形法则；
求差用三角形法则；
求首尾相连向量的和用三角形法则.
（3）与三角形联系，求参数的值•求出向量的和或差与已知条件中的和式比较，然后求参
数.
（4）与平行四边形联系，研究向量的关系•画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
□变武训练
1,（2015*潘圳调研）在四边形
AB//CD・A*=3DGE为BC
1巧
K^-AB+^-AD
Z3
（一而+丄乔5
1'
.J
IX-^AB+^AD
3G
N（201.5-广州摸拟）在小肌中尼知D是AE边上的一点*
若AD=2DB^（D=—CA+ACBf则A=
3.<
2013*寺岛模拟）柱Q.m中”点t）在线段ncI^J延氏线
—且BC=3CDt点O在线段CD上（与点不重合片若aT）-^ab+（I—『〉应\则tii勺取值范圈是（）
扎B仏+）
（.（—4-^0）D.（-+乂）
考点三
共线向量定理的应用
［例6］设两个非零向量a和b不共线.
（门若AB=d+方・灰=2口一和八而=35-A）.求fiEM.B.D三点共线.
（2）试确定实数黒使畑+方和。
十肋共线.
一探究1］若将本例Cl）中"
El=2a卜初0攵为**=4I切•则川为何值时*AbD三点共线?
［探究2］若将本例⑵中的共线”改为反向共线”，则k为何值?
方法■规律
共线向暈定理的应用
（D可以利用共线向量定理证明向量共线•也可以由向量其线求鼓數的值.
（2》若4*&
不曲线*则泅+曲=。
的充要条伴是入三m=0*这一牯论结合脅定和数法应用非常广泛.
2•证明三点共线的方法
若AB=kAC•则八』、「三点共线.
□蛮武训练
2.已知a,b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同.若a,tb,*a+b）三向量的终点在同一直线上，则t=.
［课堂归纳一一通法领悟］
3个等价转化一一与三点共线有关的等价转化
三点共践少AP=AAB（入工0）少OP=（1—i）OA+
tOB（C）为平面內异于A.P.B的任一点•£
WR）^OP-
jtOA十』OB（O为平面内异于A、氏B的任—点-r&
R,v6R-•+，=1）.
（1）作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点.
（2）向量共线的充要条件中要注意a和”，否则入可能不存在，也可能有无数个.
（3）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与
联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
（4）利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合.
O能力素养•综介验收ONIXLILHLYANCiAKSUUU-绦技能直漏朴抉
［全盘巩固］
、选择题
I.已知P,Af13.C是平面内四点，且冠十PB+TC=AC.那
么一宦有（〉
D.Pli=2AP
2.t2013*郑州模拈O左中・Ai3=e^AC=bl若点l）满
D・—十丄f
J寿
3.下列说法正确的是（）
A.若a,b都是单位向量，贝Ua=b
B.若a与b共线,b与c共线，则a与c也共线
C.若a与b共线，贝U|a+b|=|a|+|b|
D.若a与b不共线,则|a+b|<
|a|+|b|
4.设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使看厂备成立的充分条件可以是（）
A.|a|=|b|且a//bB.a=-b
C.a//bD.a=2b
5.已知向量a,b不共线，c=ka+b（k€R）,d=a-b,如果c//d,那么（）
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=—1且c与d同向
D.k=—1且c与d反向
KF-
6■如图•住平斤四边形AHCD中・AC与Ii[）交于点（）.E为线段（）1）的中点"
E的延氏线与交于点F*若AC=a.l3D=b.则
7.已知a,6是不共线的向M»
AB—Afl、b.AC=a（A
R）.当Adi.C三点共线时"
的取值不可能为（）
A,1B,0C,-1D.2
&
已知和点M满足+若存在实数m
使得而十昴=川而成立*则川=<
A,2B.3t\ID.5
二、填空题
9.如图,在半行四边形ABCD中.
E为DC边li勺中点•且砸=宀
瓦0=乩则£
云=.
16若IAB|=8,\AC\=5■则|页丨的取值范围是.
11•已知D£
、F分别为的边BCXA.AH的中点•且liC-a.CA-b,^；
|；
卜列命题t①瓦E=—旅②毎=
aI■比③CF=—a+~2~^^④AD+BE+CF=（h中正确命越的序为-
12•如图所示■在ZXAEC中严点（）MHC的中点•过点O的直线分别交也线All.AC于不同的两点M、N.若=入
=uAN・则山+”的值为J\
三、解答题
13.在△百"
「中£
F分别为AUAB的中点3E与CF相交于G点•设丽=a.AC=b.试用sb表示农.
第二节平面向量基本定理及坐标表示
知识淆单
1.平面向量基本定理
如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,
对实数入,k，使a=.
其中，不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.
2.平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：
设a=（xi,yi）,b=（X2,y2）,则
a+b=,
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