学然教育上海十年中考数学压轴题和答案解析.doc

学然教育上海十年中考数学压轴题和答案解析.doc

《学然教育上海十年中考数学压轴题和答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学然教育上海十年中考数学压轴题和答案解析.doc（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学然教育 学然教育培训中心

LearnWell Education and Training Center

上海十年中考数学压轴题解析

2001年上海市数学中考

27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

图8

①求证；△ABP∽△DPC

②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

27．

（1）①证明：

∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC．

②解：

设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得，即，解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1或4．

（2）①解：

类似

（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴．即，得，1＜x＜4．

②AP＝2或AP＝3－．

（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中

（1）可看作

（2）的特例，故

（2）的推断与证明均可借鉴

（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）

上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试

　27．操作：

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图5图6图7

　　探究：

设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？

试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

　　（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？

如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

　　（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

五、（本大题只有1题，满分12分，

（1）、

（2）、（3）题均为4分）

　　27．

图1图2图3

（1）解：

PQ＝PB　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）

　　证明如下：

过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．

　　∴　NP＝NC＝MB．　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）

　　∵　∠BPQ＝90°，∴　∠QPN＋∠BPM＝90°．

　　 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴　∠QPN＝∠PBM．　　　……………………（1分）

　　又∵　∠QNP＝∠PMB＝90°，∴　△QNP≌△PMB．　……………………（1分）

　　∴　PQ＝PB．

（2）解法一

　　由

（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．

　　∵　AP＝x，∴　AM＝MP＝NQ＝DN＝，BM＝PN＝CN＝1－，

　　∴　CQ＝CD－DQ＝1－2·＝1－．

　　得S△PBC＝BC·BM＝×1×（1－）＝－x．　………………（1分）

　　S△PCQ＝CQ·PN＝×（1－）（1－）＝－＋x2　　（1分）

　　S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝x2－＋1．

　　即　y＝x2－＋1（0≤x＜）．　　　　　　……………………（1分，1分）

　　解法二

　　作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．

　　∴　PT＝CB＝PN．

　　又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．

　　S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN　…（2分）

　　＝CN2＝（1－）2＝x2－＋1

　　∴　y＝x2－＋1（0≤x＜）．　　　　　　　　……………………（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形

　　①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，

　　此时x＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）

　　②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）

　　解法一　此时，QN＝PM＝，CP＝－x，CN＝CP＝1－．

　　∴CQ＝QN－CN＝－（1－）＝－1．

　　当－x＝－1时，得x＝1．　　　　　　　　　　　……………………（1分）

　　解法二　此时∠CPQ＝∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，

　　∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，

　　∴　AP＝AB＝1，∴　x＝1．　　　　　　　　　　　　　……………………（1分）

上海市2003年初中毕业高中招生统一考试

27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：

（1）当∠DEF＝45º时，求证：

点G为线段EF的中点；

（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△DEF，如图，当EF＝时，讨论△ADD与△EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

2004年上海市中考数学试卷

27、（2004•上海）数学课上，老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：

S梯形ABMC=2：

3②数值相等关系：

xC•xD=﹣yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：

如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：

如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？

（写出结果并说明理由）

考点：

二次函数综合题。

专题：

压轴题。

分析：

（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；

（2）（3）的解法同

（1）完全一样．

解答：

解：

（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），

由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，

故点M的坐标为（2，2），

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：

S梯形ABMC=2：

3，

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．

由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），yH=﹣2

因为xC•xD=2，

所以xC•xD=﹣yH，

即结论②成立；

（2）

（1）的结论仍然成立．

理由：

当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），

由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，

故点M的坐标为（2t，2t2），

所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．

所以S△CMD：

S梯形ABMC=2：

3，

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；

由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），yH=﹣2t2

因为xC•xD=2t2，

所以xC•xD=﹣yH，

即结论②成立；

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则：

，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），yH=﹣2at2．

因为xC•xD=2t2，

所以xC•xD=﹣yH．

点评：

本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．

2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷

1、（本题满分12分，每小题满分各为4分）

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。

（1）如图8，求证：

△ADE∽△AEP；

（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当BF＝1时，求线段AP的长.

J

2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷

25（本题满分14分，第

（1）小题满分4分，第

（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）

已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。

以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。

（1）如图9，如果AP=2PB，PB=BO。

求证：

△CAO∽△BCO；

（2）如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。

当点C在圆O上运动时，求AC：

BC的值（结果用含m的式子表示）；

（3）在

（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。

图9

A

P

B

O

C

25．

（1）证明：

，．

． （2分）

， （1分）

．，． （1分）

（2）解：

设，则，，是，的比例中项，

， （1分）

得，即． （1分）

． （1分）

是，的比例中项，即，

，． （1分）

设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，

，． （1分）

． （1分）

；当点与点或点重合时，可得，

当点在圆上运动时，； （1分）

（3）解：

由

（2）得，，且，

，圆和圆的圆心距，

显然，圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含．

当圆与圆相交时，，得，

，； （