数学文重庆高考数学卷.docx

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数学文重庆高考数学卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

满分150分考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列

中，

，

＝

A．12B．14C．16D．18

2．设

，则

=

A．[0，2]B．

C．

D．

3．曲线

在点（1，2）处的切线方程为

A．

B．

C．

D．

4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：

克）

12512012210513011411695120134

则样本数据落在

内的频率为

A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5

5．已知向量

共线，那么

的值为

A．1B．2C．3D．4

6．设

的大小关系是

A．

B．

C．

D．

7．若函数

在

处取最小值，则

A．

B．

C．3D．4

8．若△

的内角，

满足

，则

A．

B．

C．

D．

9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于

两点，左焦点在以

为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为

A．

B．

C．

D．

，

10．高为

的四棱锥

的底面是边长为1的正方形，点

、

、

、

、

均在半径为1的同一球面上，则底面

的中心与顶点

之间的距离为

A．

B．

C．

D．

二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上

11．

的展开式中

的系数是

12．若

且

，则

13．过原点的直线与圆

相交所得弦的长为2，则该直线的方程为

14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为

15．若实数

的最大值是

三、解答题，本大题共6小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

设

是公比为正数的等比数列，

，

。

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）设

是首项为1，公差为2的等差数列，求数列

的前

项和

。

17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）

某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：

（I）没有人申请A片区房源的概率；

（II）每个片区的房源都有人申请的概率。

18．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）

设函数

（1）求

的最小正周期；

（II）若函数

的图象按

平移后得到函数

的图象，求

在

上的最大值。

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分）

设

的导数为

，若函数

的图像关于直线

对称，且

．

（Ⅰ）求实数

的值

（Ⅱ）求函数

的极值

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

如题（20）图，在四面体

中，平面ABC⊥平面

，

（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

21．（本小题满分12分。

（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=

，一条准线的方程是

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：

，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为

，问：

是否存在定点F，使得

与点P到直线l：

的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。

题（21）图

参考答案

一、选择题

1—5DAACD6—10BCDBA

二、填空题：

11．240

12．

13．

14．

15．

三、解答题：

满分75分

16．（本题13分）

解：

（I）设q为等比数列

的公比，则由

，

即

，解得

（舍去），因此

所以

的通项为

（II）

17．（本题13分）

解：

这是等可能性事件的概率计算问题。

（I）解法一：

所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。

记“没有人申请A片区房源”为事件A，则

解法二：

设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记“申请A片区房源”为事件A，则

由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为

（II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有

种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有

18．（本题13分）

解：

（I）

故

的最小正周期为

（II）依题意

当

为增函数，

所以

上的最大值为

19．（本题12分）

解：

（I）因

从而

即

关于直线

对称，从而由题设条件知

又由于

（II）由（I）知

令

当

上为增函数；

当

上为减函数；

当

上为增函数；

从而函数

处取得极大值

处取得极小值

20．（本题12分）

解法一：

（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，

则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

由

故四面体ABCD的体积

（II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。

由（I）知DF⊥平面ABC。

由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。

在

在

中，EF//BC，从而EF：

BC=AF：

AC，所以

在Rt△DEF中，

解法二：

（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。

因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。

设点B的坐标为

，有

即点B的坐标为

又设点D的坐标为

有

即点D的坐标为

从而△ACD边AC上的高为

又

故四面体ABCD的体积

（II）由（I）知

设非零向量

是平面ABD的法向量，则由

有

（1）

由

，有

（2）

取

，由

（1），

（2），可得

显然向量

是平面ABC的法向量，从而

即二面角C—AB—D的平面角的正切值为

21．（本题12分）

解：

（I）由

解得

，故椭圆的标准方程为

（II）设

，则由

得

因为点M，N在椭圆

上，所以

，

故

设

分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知

因此

所以

所以P点是椭圆

上的点，该椭圆的右焦点为

，离心率

是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点

，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。