高考数学三角函数大题综合训练文档格式.docx

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（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）

=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），

故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．

∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，

∵0°

＜C＜180°

，∴C=60°

；

（2）∵b=2，△ABC的面积，

∴=，

解得a=3．

5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，

所以．…（3分）

因为∠D∈（0，π），

所以．…（5分）

因为AD=1，CD=3，

所以△ACD的面积．…（7分）

（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．

所以．…（9分）

因为，，…（11分）

所以．

所以AB=4．…（13分）

6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，

sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，

所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，

得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，

解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；

②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

所以a=2c，又ac=2，所以c=1．

8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：

sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

∵a=btanA．∴=tanA，

∵由正弦定理：

，又tanA=，

∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由

（1）sinB=cosA，

∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，

又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，

综上，A=C=，B=．

10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，

∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）

又B为钝角，∴+A∈（，π），

∴B=+A，∴B﹣A=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，

∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣）2+，

∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤

∴sinA+sinC的取值范围为（，]

11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：

△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．

由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，

从而tan（A+B）==﹣=﹣．

所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°

．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，

解得B=45°

，或B=135°

（舍去）．

于是，A=180°

﹣B﹣C=75°

则tanA=tan75°

=tan（45°

+30°

）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，

∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，

又B为三角形的内角，则B=120°

（II）由（I）得：

A+C=60°

，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×

=，

∴A﹣C=30°

或A﹣C=﹣30°

，

则C=15°

或C=45°

13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

（1）∵A=，∴由余弦定理可得：

，∴b2﹣a2=bc﹣c2，

又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，

∴a2=b2﹣=，即a=．

∴cosC===．∵C∈（0，π），

∴sinC==．∴tanC==2．

（2）∵=×

=3，

解得c=2．∴=3．

15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

（1）由余弦定理可得：

BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×

2×

3×

=7，

所以BC=．

（2）由正弦定理可得：

，则sinC===，

∵AB＜BC，∴C为锐角，

则cosC===．

因此sin2C=2sinCcosC=2×

=．

16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：

可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，

，解得sinC=；

（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．

17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

（1）由正弦定理==化简已知的等式得：

sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，

∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，

∴sinA﹣cosA=1，

整理得：

2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，

∴A﹣=或A﹣=，解得：

A=或A=π（舍去），则A=；

（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，

∴bcsinA=bc=，即bc=4①；

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：

4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，

b+c=4②，

联立①②解得：

b=c=2．

19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．

∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA

=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA

=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）

又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．

∴，其中k∈z，即，其中k∈z，

（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A

∴，即函数f（x）的值域为：

（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，

即，∴b+c=13

由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA

即49=169﹣3bc，∴bc=40

故△ABC的面积为：

S=．

20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

（I）∵==．

令，

解得，即，

∵，∴f（x）的递增区间为．

（Ⅱ）由，得．

而C∈（0，π），∴，∴，可得．

∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，

由正弦定理得：

=①．

由余弦定理得：

c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab②，

由①、②解得．

21．（2015•济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．

（Ⅰ）∵向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），

∴函数f（x）=•=cos（2x﹣）+cos2x﹣sin2x=cos（2x﹣）+cos2x=cos2