平面几何中的向量方法印Word格式.docx

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∠ABC＝90o.

证明：

设

例2.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.求证：

AD，BE，CF相交于一点.

例3.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，

你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

思考1：

如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？

思考2：

运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

例4．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

课堂小结

用向量方法解决平面几何的“三步曲”：

课后作业

1.P113习题2.5A2

教学反思:

2.5.2向量在物理中的应用举例

1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；

2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.

运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.

将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.

1.你能掌握物理中的哪些矢量？

向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？

例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：

两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；

在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种形象吗？

探究1：

（1）为何值时，|

|最小，最小值是多少?

（2）|

|能等于||吗?

为什么?

探究2:

你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?

（1）问题的转化：

把物理问题转化为数学问题；

（2）模型的建立：

建立以向量为主体的数学模型；

（3）参数的获得：

求出数学模型的有关解——理论参数值；

（4）问题的答案：

回到问题的初始状态，解决相关物理现象.

例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|

|＝10km/h，水流速度|

|＝2km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1min）？

思考:

1.“行驶最短航程”是什么意思？

2.怎样才能使航程最短？

三、课堂小结

向量解决物理问题的一般步骤:

四、课后作业

1.P113习题2.5A3

教学反思：

复习课

教学目标

1.理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2.了解平面向量基本定理.

3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4.了解向量形式的三角形不等式：

|||-||≤|±

|≤||+||（试问：

取等号的条件是什么?

）和向量形式的平行四边形定理：

2（||+||）=|－|+|+|.

5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：

6.向量的坐标概念和坐标表示法

7.向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）

8.数量积（点乘或内积）的概念，·

=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；

向量与向量的乘法”

知识与方法

向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：

①求模长；

②求夹角；

③判垂直

典型例题

例1.对于任意非零向量与，求证：

｜｜｜-｜｜｜≤｜±

｜≤｜｜+｜｜

（1）两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±

｜＜｜｜+｜｜

（3）两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

例2已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°

，∠BOC=90°

，设

=，

且||=2，||=1，||=3，用与表示

解：

如图建立平面直角坐标系xoy，其中,

是单位正交基底向量,则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos（150°

-90°

）,y=-2sin（150°

），即A（1，-），也就是=－

=

，=-3所以-3=3+|即=3－3

例3.下面5个命题：

①|·

|=||·

||②（·

）=·

③⊥（－），则·

=·

④·

=0，则|+|=|－|⑤·

=0，则=或=，其中真命题是（）

A①②⑤B③④C①③D②④⑤

巩固训练

1.下面5个命题中正确的有（）

①=·

；

②·

=；

③·

（+）=·

+·

④·

（·

）=（·

）·

⑤

.

A..①②⑤B.①③⑤C.②③④D.①③

2.下列命题中，正确命题的个数为（A）

①若与是非零向量，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；

②若为单位向量，且∥则=||③·

·

=||④若与共线，与共线，则与共线；

⑤若平面内四点A.B.C.D，必有

+

=

A1B2C3D4

3.下列5个命题中正确的是

①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=

4.已知四边形ABCD的顶点分别为A（2,1），B（5,4），C（2,7），D（-1,4）,求证：

四边形ABCD为正方形。

3.1.1两角差的余弦公式

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.

通过探索得到两角差的余弦公式；

探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题.

（一）导入：

问题1：

我们在初中时就知道 

，

，由此我们能否得到

大家可以猜想，是不是等于

呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！

下面我们就一起探讨两角差的余弦公式

（二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，

等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示。

怎样构造角和角

？

（注意：

要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

两角差的余弦公式：

（三）例题讲解

例1、利用差角余弦公式求

的值.

分析：

把构造成两个特殊角的差.

点评：

把一个具体角构造成两个角的差形式，有很多种构造方法，例如：

，要学会灵活运用.

例2、已知

是第三象限角，求

因为

由此得

又因为

是第三象限角，所以

所以

注意角、的象限，也就是符号问题.

思考：

本题中没有

，该如何分析呢？

（四）练习：

1.不查表计算下列各式的值：

解:

2．教材P127练习1、2、3、4题

（五）小结：

两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

（1）牢记公式

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系．

（六）作业：

P127练习1、2、3、4题

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（一）

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；

两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

（一）复习式导入：

（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：

．

（2）

（二）新课讲授

问题：

由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？

探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.

探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？

探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有

、

的形式呢？

（分式分子、分母同时除以

，得到

注意：

5、将

称为和角公式，

称为差角公式。

（三）例题讲解

例1、已知

是第四象限角，求

是第四象限角，得

，

于是有：

思考：

在本题中，

，那么对任意角，此等式成立吗？

若成立你能否证明？

练习：

教材P131面1、2、3、4题

例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

（1）、

（2）、

（3）、

练习：

教材P131面5题

（四）小结：

本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，学会灵活运用.

（五）作业：

P137习题3.1A6、7、8

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（二）

1、理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式，体会三角恒等变换特点的过程；

2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及

类型的变换。

两角和、差