18学年高二物理电学专题提升专题28带电粒子在有界磁场中运动的多解问题Word文档格式.docx

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临界

状态

不唯

一

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界限磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此它可能穿过去,也可能旋转过180°

从入射界面这边反向飞出,于是形成多解

运动

具有

周期

性

带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时,往往运动具有周期性,因而形成多解

二：

典例精讲

1．磁场方向不确定形成多解

典例1：

一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】AC

2．临界状态不唯一形成多解

典例2：

某装置用磁场控制带电粒子的运动,工作原理如图所示.装置的长为L,上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反,两磁场的间距为d.装置右端有一收集板,M、N、P为板上的三点,M位于轴线OO'

上,N、P分别位于下方磁场的上、下边界上.在纸面内,质量为m、电荷量为-q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入,方向与轴线成30°

角,经过上方的磁场区域一次,恰好到达P点.改变粒子入射速度的大小,可以控制粒子到达收集板上的位置.不计粒子的重力.

（1）求磁场区域的宽度h.

（2）欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点,求粒子入射速度的最小变化量Δv.

（3）欲使粒子到达M点,求粒子入射速度大小的可能值.

【答案】

（1）

；

（2）

（3）

（1≤n≤

-1,n取整数）

【解析】

（1）设粒子在磁场中的轨道半径为r

根据题意L=3rsin30°

+3dcos30°

且h=r（1-cos30°

）,

解得h=

.

（2）设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r'

m

=qvB,m

=qv'

B,

由题意知3rsin30°

=4r'

sin30°

解得Δv=v-v'

=

3．电性不确定形成多解

典例3：

如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。

现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。

要使粒子不能从边界NN′射出，求粒子入射速率v的最大值可能是多少。

【答案】

（2＋

）

或（2－

【解析】题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷。

若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的

圆弧，轨道半径：

R＝

又d＝R－

解得v＝

。

若q为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN′相切的

圆弧，则有：

R′＝

d＝R′＋

，解得v′＝

4．运动的往复性形成多解

典例4：

如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。

有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。

已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。

求：

（1）磁感应强度B0的大小；

（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。

（1）

（2）

（n＝1，2，3，…）

（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，离子的运动轨迹如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有r＝

当在两板之间正离子共运动n个周期，即nT0时，有r＝

联立求解，得正离子的速度的可能值为

v0＝

＝

三总结提升

解决多解问题的一般思路

（1）明确带电粒子的电性和磁场方向；

（2）正确找出带电粒子运动的临界状态；

（3）结合带电粒子的运动轨迹利用圆周运动的周期性进行分析计算。

2.处理多解模型的解题技巧

（1）分析题目特点,确定题目多解形成的原因.

（2）作出粒子运动轨迹示意图.（全面考虑多种可能）

（3）若为周期性的多解问题,注意寻找通项式,若是出现几种解的可能性,注意每种解出现的条件.

四提升专练

1.（多选）如图所示，水平放置的两个平行金属板MN、PQ间存在匀强电场和匀强磁场.MN板带正电，PQ板带负电，磁场方向垂直纸面向里.一带电微粒只在电场力和洛伦兹力作用下，从I点由静止开始沿曲线IJK运动，到达K点时速度为零，J是曲线上离MN板最远的点.以下几种说法中正确的是（）

A.在I点和K点的加速度大小相等，方向相同

B.在I点和K点的加速度大小相等，方向不同

C.在J点微粒受到的电场力小于洛伦兹力

D.在J点微粒受到的电场力等于洛伦兹力

2.（多选）如图所示，在平行金属板A、B间分布着正交的匀强电场和磁场，磁感应强度垂直纸面向里，一个质子以初速度

垂直于电磁场沿

入射，恰能沿

运动，则（）

A．A板的电势高于B板的电势

B．电子以初速度

从左端入射，仍沿

做直线运动

C．

以初速度

D．

从右端入射，仍沿

【答案】ABC

3.（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。

磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。

现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）

A．使粒子的速度v＜

B．使粒子的速度v＞

C．使粒子的速度v＞

D．使粒子的速度

＜v＜

【答案】AB

【解析】若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r

＝（r1－

）2＋l2，又因为r1＝

，解得v1＝

若粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝

，解得v2＝

，故A、B正确。

4.（多选）在一个边界为等边三角形的区域内，存在一个方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P点处有一个粒子源，发出比荷相同的三个粒子a、b、c（不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒子通过磁场的轨迹如图所示，用ta、tb、tc分别表示a、b、c通过磁场的时间；

用ra、rb、rc分别表示a、b、c在磁场中的运动半径，则下列判断正确的是（）

A．ta=tb＞tcB．tc＞tb＞ta

C．rc＞rb＞raD．rb＞ra＞rc

5.（多选）如图所示，匀强电场和匀强磁场相互垂直，现有一束带电粒子（不计重力），以速度

沿图示方向恰能沿直线穿过，正确的分析是（）

A．如果让平行板电容器左极板为正极，则带电粒子必须从下向上以

进入该区域才能沿直线穿过

B．如果带电粒子以小于

的速度沿

方向射入该区域时，其电势能越来越小

C．如果带负电粒子速度小于

，仍沿

方向射入该区域时，其电势能越来越大

D.无论带正电还是带负电的粒子，若从下向上以速度

进入该区域时，其动能都一定增加

【答案】ABD

6.如图所示，在

的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里，假设一系列质量为m、电荷量为q的正离子初速度为零，经过加速电场加速后从O点沿Ox轴正方向进入匀强磁场区域，有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d），N点的坐标为（d，d）。

不计正离子的重力。

（1）加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的粒子才能全部打在金属板上？

（2）求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值（sin37°

=0.6，cos37°

=0.8）。

（2）

【解析】

（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得

正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

联立解得

当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N时，圆周运动的半径最小为

，如图1所示

根据几何知识可以判断

，故

（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动规律得

又

离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关

离子在图1所示的轨迹中运动时间最短为

离子在图2所示的轨迹中运动时间最长为

根据几何知识，

，则

所以

7.如图所示，在竖直平面内直线AB与竖直方向成30°

角，AB左侧有匀强电场，右侧有垂直纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电量为q的带负电的粒子，从P点以初速υ0竖直向下射入电场，粒子首次回到边界AB时，经过Q点且速度大小不变，已知P、Q间距为l，之后粒子能够再次通过P点，（粒子重力不计）求：

（1）匀强电场场强的大小和方向；

（2）匀强磁场磁感强度的可能值．

，方向垂直于AB且与竖直方向成60°

角向下；

（2）

（R=1）；

n=1、2、3…（R＞1）．

8.如图所示,在无限长的竖直边界AC和DE间,上、下部分分别充满方向垂直于ADEC平面向外的匀强磁场,上部分区域的磁感应强度大小为B0,OF为上、下磁场的水平分界线.质量为m、带电荷量为+q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方区域,经OF上的Q点第一次进入下方区域,Q与O点的距离为3a.不考虑粒子重力.

（1）求粒子射入时的速度大小.

（2）要使粒子不从AC边界飞出,求下方区域的磁感应强度B1应满足的条件.

（3）若下方区域的磁感应强度B=3B0,粒子最终垂直DE边界飞出,求边界DE与AC间距离的可能值.

（1）

（2）B1>

　（3）4na（n=1,2,3,…）

（2）当粒子恰好不从AC边界飞出时,设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r1,由几何关系得

r1+r1cosθ=3a,

cosθ=

所以r1=

根据qvB1=

解得B1=

当B1>

时,粒子不会从AC边界飞出.

（3）当B=3B0时,粒子在OF下方的运动半径为r=

a.

设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P1,则P与P1的连线一定与OF平行,根据几何关系知

=4a,

所以若粒子最终垂直DE边界飞出,边界DE与AC间的距离为L=n

=4na（n=1,2,3,…）.

9.如图（a）所示,匀强磁场垂直于xOy平面,磁感应强度B1按图（b）所示规律变化（垂直于纸面向外为正）.t=0时,一比荷为

=1×

105C/kg的带正电粒子从原点沿y轴正方向射入,速度大小v=5×

104m/s,不计粒子重力.