高数极限与连续讲课稿.docx
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高数极限与连续讲课稿
高数极限与连续
第一单元复习
主要内容：
１．函数部分：
复合函数，反函数，分段函数，函数记号的运算及基本初等函数与图象（这部分内容贯穿全书，不另行复习）
２．极限：
极限的概念、性质、极限存在的条件以及求极限；
求极限的方法：
（１）利用运算法则及幂指数运算法则、无穷小与有界必为无穷小；
（２）利用函数的连续性；
（３）利用变量替换与两个重要极限；
（４）利用等价无穷小因子替换；
（５）利用洛必达法则；
（６）分别求左右极限；
（７）数列极限转化成函数极限；
（８）利用适当放大与缩小法，利用夹逼定理；
（９）对递归数列先证明极限存在（常用“单调有界必有极限”准则），再利用递归关系求出极限；
（１０）利用导数定义求极限；３．无穷小及其阶、会比较无穷小的阶及确定无穷小阶的方法。
４．连续函数的性质：
会判断函数的连续性及间断，能说出间断点的类型，特别是分段函数的在连接点处的连续性。
５．闭区间上的连续函数的性质：
有界性、最值定理、介值定理，特别会用零点定理证明方程有根的方法。
、选择题
．函数yloga（xx21）是（）.
（A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数
（D）既是奇函数又是偶函数
2.若函数f（ex）=x+1，则f（x）=（）
A.ex+1B.x+1C.ln（x+1）
D.lnx+1
无穷小量是（
为极限的一个变量Ｄ.数0
６．lxim1sin2（21x）（x1（x1）2（x2）
）.
Ａ.13
Ｂ.13
Ｄ.23
７．设数列an、bn、
cn满足：
（d）.
A．an和cn都收敛时，bn收敛时，cn发散下端
C．cn有界时，an和bn都有界对
８．下列极限存在的是（
1
A.limexx0
B.limsin1x0x
lim1cosx
xx
D.limarctanxx
Ｃ.0
NN*,nN，有anbncn，则
B．an和bn都发散下限D．以上都不
）。
有界但不存在C.
当x
1时，下列函数与
1x等价无穷小的是
A．
11
2
x3
0．若f（x）
B．11
2
2x
e
sinax
x
0
在x
0
A．ae1
B.a
11．设f（x）
x2ln（cosx）,a
C．21x
D．1
0处连续，则a取值为
C.a1
x0在x0处连续，则a（x0
）。
D.a2
）。
A．0B.1
C.
D.1
2
12．在x→0时，下
面说法中错误的是（
）。
A．xsinx是无穷小
B．xsin1是无穷小x
C．1sin1是无穷大xx
D．1是无穷大x
13．设f（x）excosxex
，当x0时，f（x）是x
的几阶无穷小
（）。
A．1阶
B．2阶
C．3阶
D．4阶
14．设f（x）2x3x2，则当x0时，有（）。
A．f（x）与x是等价无穷小B．f（x）与x同阶非等价
无穷小
C．f（x）是比x高阶的无穷小D．f（x）是比x低阶的
无穷小
15．当x0时，4sinxsin2x是x3的（）。
总体的平方
A．同阶但不是等价无穷小B．高阶无穷小
C．低阶无穷小D．等价无
1
16．函数f（x）e11，则点x0是f（x）的（）。
E的无穷次
ex1
分情况讨论
A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点
D．振荡间断点
17．函数f（x）xx0在x0处（）.
xx0
A．极限存在，但不连续B．连续但不可导C．可导
m
li
D．导函数连续
x11
18.设f（x）
xx0，则x
0x0
0是函数f（x）的（）.
A.可去间断点
B.
无穷间断点C.连续
点
D.
跳跃间断点
19．
函数极限
limx[ln（x1）lnx]（
B）。
LN（1-1/X）=-1/X
A．
1
B．1
C．
D．不存在但非
x2
A.0
B.1
2
C.1
3
D.1
21
xsin
x的值为（sinx
sintdt
20.lxim004（B）。
A.lim（11）x
eB.lim（1
1
x）x
eC.limxs
1sinxin1D.lim1
x0x
x
x
xxx
23.设f（x）
1
sinaxx（1ax）xx
x
0在x0连续，
则a=（）.
a2,x0
A．ln3；
B．ln2；
C．
3；D．
2．
24．已知limatanxb（1cosx）22，a2c20，则（）x0cln（12x）d（1ex2）
25.设当x0时，（1cosx）ln（1x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比（ex21）高阶的无穷小，则正整数n等于（B）
A.1B.2C.3
D.4
1x1x
26．设f（x）ln（1t）dt，g（x）exx1，
则当x0时，f（x）是g（x）的（）
A）等价无穷小；（B）同阶但非等价无穷小；
C）低阶无穷小；（D）高阶无穷小。
27.方程x4x10至少有一个根的区间是（）
A）（0,1/2）（B）（1/2,1）（C）（2,3）（D）
（1,2）
、填空题
1．设函数f（x）x1，的可去间断点为x1,则定义
x1
f
（1）2时，f（x）在（,）处连续。
2．设函数f（x）（1x）cotx，则定义f（0）=e1时，函数f（x）在
x0处连续。
1
3.设f（x）ex1,x0,点x1是什么类型的间断点___跳跃
，b
ln（1x）,1x0.
三、计算下列极限
1．
lim
（x1）（2x3）
x
（5x9）100
2．
lim
xsinx＝
x0
1
3．
极限limx1x
x1
xcosx
4．
lim
x
xsinx
5．
lim
x
（x2xx2x
6．
求极限lim（1
）
x
x11）。
x1
7．
求极限
x
2arctantdtlim0x2
8．
求极限：
21
xcos
x
3sinxlimx0ln（1x）
10．求极限：
x2
tln（13t2）dtlimx0x0（1cost）（e2t1）dt
9．求极限lim（5x52x41x）。
x
（
x
0（et
0
1）dt）2
11．计算：
lxim0
x2
0xtln（1
t）dt
2．
2
x5cosxlim2x3x26sinx
13.lim0
sinx
ln（1tanx）
14.lim（1sin2x3x2）cotxx0
四、求参数
1x1
．已知f（x）c
axb
0
在x0点可导，求a，
1
b，c的值。
连续可导
的值。
３．已知
lim（x321
xx21
ax
b）
1，
求常数a和b。
４．已知
limxt
x00（bxsin
dtt2
1，求a,b的值。
4有有限极限值L，求a，L
32
xaxx
12、设lim
x11x
2
13、已知limx2axb
x2x2
1４．确定常数
x2a和b，
2，求a，b。
使lim（x2x1axb）0.x
五、证明题
．证明方程
3x27x100在1与2之间至少有一个实
根；
个实
2．证明方程sinxx10在开区间,内有唯
22
根。
有仅有
2
4.设函数f（x）2x1，则x2是f（x）的第二类x23x2
间断点。
1
5．已知x0时，（1ax2）341与1cosx是等价无穷小，则常数3
a。
2
6．设x0时，（excosx2ex）与xk是同阶无穷小，则k5。
1cosx
7．设f（x）0sintdt，，当x0时，f（x）是xk的同阶无穷小则k＝_4。
0
1，在所定义的区间上连续，则
1
a=；b=。
9.设lim（12）kxe3，则k
xx
10．已知lxim（xc）x4，C=．
xxc
11．已知lnima3nbn25***9**122，则a
12.函数f（x）x的间断点是
lnx1
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