北京东城区高考二模数学理科试题word版含解析.doc
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北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习
(二)
高三数学 (理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知复数,若是纯虚数,则实数等于(B)
A. B.C. D.
2.对于非零向量,,“”是“”的(A)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图,输出的等于(C)
A.
B.
C.
D.
4.右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,计算该几何
体的表面积为(D)
A.
B.
C.
D.
5.已知不等式组表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围是(A)
A.B.C.D.
6.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数的取值范围是(C)
A.B.C.D.
7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点是两曲线的一个交点,且轴,若为双曲线的一条渐近线,则的倾斜角所在的区间可能是(D)
A.B.C.D.
8.已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意,.设是的任意一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为(A)
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上.
9.命题“”的否定是.
10.如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知
,,圆的半径为,则圆心到的距离
为.
11.已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示,样本数据落在内的样本频数为,样本数据落在内的频率为.
12.在平面直角坐标系中,已知圆
(为参数)和直线(为参数),则直线与圆相交所得的弦长等于.
13.在函数的一个周期内,当时有最大值,当时有最小值,若,则函数解析式=.
14.已知数列中,是其前项和,若,,,
且,则_______________,_______________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在中,角,,所对的边分别为,,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求的值.
16.(本小题满分13分)
袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(Ⅱ)用表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量的分布列和均值.
17.(本小题满分14分)
如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,侧面,△是等边三角形,,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求四棱锥的体积;
(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.
18.(本小题满分13分)
已知抛物线的焦点在轴上,抛物线上一点到准线的距离是,过点的直线与抛物线交于,两点,过,两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)求证:
是和的等比中项.
19.(本小题满分13分)
已知数列的前项和为,,,设.
(Ⅰ)证明数列是等比数列;
(Ⅱ)数列满足,设,若对一切不等式恒成立,求实数的取值范围.
20.(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)设,,且,求证:
.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习
(二)
高三数学参考答案(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.B2.A3.C 4.D5.A 6.C 7.D 8.A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.,10.11.,
12.13.14.,
注:
两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)因为,又,
所以.…………………………………3分
所以.………………………………………7分
(Ⅱ)由余弦定理,
得.…………………………………………………………11分
解得.…………………………………………………………………13分
16.(本小题满分13分)
解:
(I)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为,
则.…………………………………………………5分
(II)由题意所有可能的取值为:
,,,.…………………………………6分
;
;
;
.
所以随机变量的分布列为
1
2
3
4
……………………………………………………………10分
随机变量的均值为
.………………………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为侧面,平面,
所以.……………………………………………………………2分
又因为△是等边三角形,是线段的中点,
所以.
因为,
所以平面.…………………………………………………4分
而平面,
所以.……………………………………………………………5分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知:
平面,所以是四棱锥的高.
由,,可得.
因为△是等边三角形,
可求得.
所以.………………9分
(Ⅲ)解:
以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,.
,,.
设为平面的法向量.
由即
令,可得.………………………12分
设与平面所成的角为.
.
所以与平面所成角的正弦值为.…………………………………14分
18.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
由题意可设抛物线的方程为.
因为点在抛物线上,所以.
又点到抛物线准线的距离是,所以,可得.
所以抛物线的标准方程为.………………………………………………3分
(Ⅱ)解:
点为抛物线的焦点,则.
依题意可知直线不与轴垂直,所以设直线的方程为.
由得.
因为过焦点,所以判别式大于零.
设,.
则,.……………………………………………………6分
.
由于,所以.
切线的方程为,①
切线的方程为.②
由①,②,得.…………………………………8分
则.
所以.………………………10分
(Ⅲ)证明:
.
由抛物线的定义知,.
则
.
所以.
即是和的等比中项.…………………………………………………13分
19.(本小题满分13分)
证明:
(Ⅰ)由于,①
当时,.②
①②得.
所以.…………………………………………………2分
又,
所以.
因为,且,
所以.
所以.
故数列是首项为,公比为的等比数列.…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,则().
.……………………………………………………………………9分
由,得.
即.
所以.
所以.……………………………………11分
设,.
可知在为减函数,又,
则当时,有.
所以.
故当时,恒成立.…………………………………13分
20.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)
.………………………………………3分
因为在上为单调增函数,
所以在上恒成立.
即在上恒成立.
当时,由,
得.
设,.
.
所以当且仅当,即时,有最小值.
所以.
所以.
所以的取值范围是.…………………………………………………………7分
(Ⅱ)不妨设,则.
要证,
只需证,
即证.
只需证.……………………………………………………………11分
设.
由(Ⅰ)知在上是单调增函数,又,
所以.
即成立.
所以.………………………………………………………………14分
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