四边形专题经典复习题含答案Word格式文档下载.docx

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3.平行四边对角线分得的四个三角形面积相等。

2．矩形的判定和性质

①有一个角是直角的平行四边形是矩形．

②有三个角是直角的四边形是矩形．

③对角线相等的平行四边形是矩形．

①矩形具备平行四边形的性质．

②矩形四个角都是直角．

③矩形两条对角线相等．

④矩形是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴．

⑤矩形面积S＝ab（a、b分别表示矩形的长和宽）．

3．菱形的判定和性质

①一组邻边相等的平行四边形是菱形．

②四条边都相等的四边形是菱形．

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

①菱形具备平行四边形的性质．

②菱形四边都相等．

③菱形两条对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角．

④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴．

⑤菱形面积分别表示菱形两对角线的长）．

4．正方形的判定和性质

①有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形．

②一组邻边相等的矩形是正方形．

③一个角是直角的菱形是正方形．

④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．

①正方形具备平行四边形性质．

②正方形既具备矩形特殊性质，又具备菱形特殊性质，即：

四边都相等；

四个角都是直角；

两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；

既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有4条对称轴．③面积S＝a2（a表示正方形的边长）．

5．梯形的判定和性质

类别

梯形

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

①梯形一组对边平行而另一组对边不平行．

②梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半．

③是梯形的上下底，h是高，m是中位线）．

等腰

①两腰相等的梯形是等腰梯形．

②同一底上两角相等的梯形是等腰梯形．

③对角线相等的梯形是等腰梯形．

①等腰梯形具有一般梯形的性质．

②等腰梯形两腰相等．

③等腰梯形同一底上两角相等．

④等腰梯形对角线相等．

⑤等腰梯形是轴对称图形．

直角

有一个角是直角的梯形是直角梯形．

①直角梯形具有一般梯形的性质．

②直角梯形的一腰垂直于底边．

6．梯形中的常用辅助线：

7.平行线等分线段定理

（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上所截得的线段也相等．

（2）经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边．

（3）经过梯形一腰中点且与底边平行的直线必平分另一腰．

8．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半．

典型例题：

例1.如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：

∠AOB=∠COB．

解：

作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；

　　　　根据和AE=CF，可证BN=BM，

　　　　于是∠AOB=∠COB．

例2.如图：

工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．

如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合（点A与点C重合、点E与点E重合）后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略

．

例3.已知：

平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：

（1）BE⊥AC；

（2）EG=EF。

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，BD=2BO．

　　　　由已知BD=2AD，∴BO=BC，又E是OC中点，∴BE⊥AC．

（2）由

（1）BE⊥AC，又G是AB中点，∴

∵EF是△OCD的中位线，∴又，∴

例4．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°

，又E，F，G分别为DO，AO，BC的中点．

求证：

△EFG是等边三角形。

连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．

　　　又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．

　　　∵∠DOC=∠AOB=60°

，∴△ODC为等边三角形．

　　　又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°

　　　在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。

同理．

　　　在△OAD中，∵E，F分别为OD，OA的中点．

　　　∴，故△EFG为等边三角形．

例5．已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．

（1）当DG=2时，求△FCG的面积；

（2）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积；

（3）判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

（1）∵正方形ABCD中，AH=2，∴DH=4．

　　　　　又DG=2，因此HG=，即菱形EFGH的边长为．

　　　　　在△AHE和△DGH中，∠A=∠D=90°

，AH=DG=2，EH=HG=，

　　　　　∴△AHE≌△DGH。

∴∠AHE=∠DGH。

　　　　　∵∠DGH+∠DHG=90°

，∴∠DHG+∠AHE=90°

，

　　　　　∴∠GHC=90°

，即菱形EFGH是正方形．同理可以证明△DGH≌△CFG．

　　　　　因此∠FCG=90°

，即点F在BC边上，同时可得CF=2，从而

（2）作FM⊥DC，M为垂足，连结GE，

　　　　　∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE。

　　　　∴∠AEH=∠MGF。

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°

，HE=FG，

　　　　∴△AHE≌△MFG。

∴FM=HA=2，

　　　　　即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2。

因此

　　　　（3）若，由，得，此时，在△DGH中，。

　　　　　相应地，在△AHE中，，即点E已经不在边AB上。

故不可能有。

　　另法：

由于点G在边DC上，因此菱形的边长至少为DH=4，

　　　　　当菱形的边长为4时，点E在AB边上且满足，此时，当点E逐渐向右运动至点B时，

　　　　　HE的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为。

　　　　　此时，，故。

　　　　　而函数的值随着的增大而减小，

　　　　　因此，当时，取得最小值为。

　　　　　又因为，所以△FCG的面积不可能等于1。

巩固练习：

1、把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：

AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

（1）求证：

△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论．

挑战自我：

1、（2010年眉山市）．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°

，则这个正多边形的边数是（）

A．9B．8C．6D．4

4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为。

5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

6题

6、（2010年滨州）如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°

E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为

7、（2010年福建晋江）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：

①∥，②，③，④．

已知：

在四边形中，　　　　　，　　　　；

四边形是平行四边形．

8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。

（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四

边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;

若沿着BD剪开，

请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;

并直接写出这两个平行四边

形的周长。

（图1）

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4

中用实线画出拼成的平行四边形。

（注：

上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）

（图4）

（图3）

（图2）

周长为__________周长为__________

9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12cm，求梯形中位线的长。

10、（2007·

山东）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）（A）4cm（B）6cm（C）8cm（D）10cm

10题

11、（2006·

山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=，则平行四边形ABCD的周长是．

直击中考：

1.（2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）

【答案】D

A．7B．9C．10D．11

2.（2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：

CF＝（）

A．1：

2B．1：

3C．2：

3D．2：

5【答案】A

3.（2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）【答案】C

……

图①图②图③图④

A．55B．42C．41D．29

4.（2011宁波市）一个多边形的内角和是720°

，这个多边形的边数是（）

【答案】C

A．4B．5C．6D．7

5.（2011广东汕头