第17讲 一次函数的应用培优课程讲义例题练习含答案Word文档格式.docx

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类型一、简单的实际问题

1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.下列说法正确的有（）：

①起跑后1小时内，甲在乙的前面；

②第1小时两人都跑了10千米；

③甲比乙先到达终点；

④两人都跑了20千米.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C；

【解析】①②④正确.在起跑1小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；

第一小时，两人所跑的路程均为10千米；

乙比甲先到达终点；

乙的速度是10千米/时，2小时跑了20千米，甲也跑了同样的路程.

【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析这四个结论．

举一反三：

【变式】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：

①甲让乙先跑12米；

②甲的速度比乙快1.5米/秒；

③8秒钟内，乙在甲前面；

④8秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是（　　）

A．①②B．①②③④C．②③D．①③④

【答案】B；

提示：

①由图形，＝0时，甲在乙前边12米，即甲让乙先跑12米，故①正确；

②当＝8秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷

8＝1.5米/秒，故②正确；

③8秒钟内，AB在OB的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；

④8秒钟后，AB在OB的下面，即可知甲超过了乙，故④正确．

故选择B．

类型二、方案选择问题

2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：

①购一个书包，赠送一支水性笔；

②购书包和水性笔一律按9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干（不少于4支）．

（1）分别写出两种优惠方法购买费用（元）与所买水性笔支数（支）之间和函数关系式；

（2）对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．

【答案与解析】

解：

（1）根据题意可得：

方案①购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式：

＝4×

20＋5（－4）＝5＋60（≥4）；

方案②购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式；

20×

0.9＋5×

0.9＝4.5＋72（≥4）．

（2）在同一坐标系内分别画出与的图象，如图所示，由图象可知：

＝24时，两个函数的函数值相等；

＞24时，对同一个，上的点都在上的点的上边即＞；

4≤＜24时，对同一个，上的点都在上的点的上边即＜．

可得优惠方案：

当购买24支水性笔时，方案①与方案②同样优惠；

当购买水性笔不少于4支但没超过24支时，方案①收费少，选方案①；

当购买水性笔超过24支时，方案②收费少，选方案②.

（3）小丽购买4个书包，12支水性笔时，12＜24，应在方案①中，费用＝5×

12＋60＝120（元）．

但题中有一个条件不可忽视，方案①购买4个书包赠4个水性笔，而方案②中一律9折，这让人不得不想到还可这样购买．两种优惠全用，在方案①中买4个书包这样得4支笔，总共买12支笔还差8支，去方案②中打9折购买，算一算总费用＝4×

20＋5×

0.9×

8＝80＋36＝116（元）；

而116＜120．

故小丽这样买最经济：

按方案①买4个书包得4支水性笔．按方案②买余下的8支水性笔．

【总结升华】

（2）对的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找取何值时，值相等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小．

【变式】

（•六盘水）联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．

（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．

（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？

（3）什么情况下A套餐更省钱？

【答案】

（1）A套餐的收费方式：

y1=0.1x+15；

B套餐的收费方式：

y2=0.15x；

（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，

答：

当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；

（3）当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．

3、（•内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？

并确定获利最大的方案以及最大利润；

（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及

（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．

【思路点拨】

（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，根据“商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”，列出方程，即可解答；

（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根据题意得：

，得到，根据x为正整数，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7种，利用一次函数的性质，确定获利最大的方案以及最大利润；

（3）当电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元时，则利润y=（k﹣50）x+15000，分两种情况讨论：

当k﹣50＞0；

当k﹣50＜0；

利用一次函数的性质，即可解答．

（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，

根据题意得：

，

解得：

x=1600，

经检验，x=1600是原方程的解，

x+400=1600+400=2000，

每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．

（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，

则y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，

∵x为正整数，

∴x=34，35，36，37，38，39，40，

∴合理的方案共有7种，

即①电冰箱34台，空调66台；

②电冰箱35台，空调65台；

③电冰箱36台，空调64台；

④电冰箱37台，空调63台；

⑤电冰箱38台，空调62台；

⑥电冰箱39台，空调61台；

⑦电冰箱40台，空调60台；

∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y有最大值，最大值为：

﹣50×

34+15000=13300（元），

当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．

（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，

则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，

当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，

∵，

∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；

当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，

∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；

当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；

当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．

【总结升华】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的性质的运用，解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键．

4、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．

方案一：

让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；

方案二：

让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置?

（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置?

（1）设取奶站建在距A楼米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为米，求出各函数在自变量下的最小值，

（2）设取奶站建在距A楼米处，列出等量关系式，解得．

【答案与解析】

（1）设取奶站建在距A楼米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为米．

①当0≤≤40时，

＝20＋70（40－）＋60（100－）＝－1l0＋8800．

∴当＝40时，的最小值为4400．

②当40＜≤100时，

＝20＋70（－40）＋60（100－）＝30＋3200．

此时，的值大于4400．

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处．

（2）设取奶站建在距A楼米处．

①当0≤≤40时，20＋60（100－）＝70（40－），

解得（舍去）．

②当40＜≤100时，20＋60（100－）＝70（－40），

解得＝80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80米处．

【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；

即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值．

【巩固练习】

一.选择题

1.某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；

然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（　　）

A．45.2分钟B．48分钟C．46分钟D．33分钟

2.小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：

在甲商场累计购买满一定数额元后，再购买的商品按原价的90%收费；

在乙商场累计购买50