人教版初中数学中考经典好题难题Word文件下载.docx
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(1)求证:
方程总有两个实数根;
(2)当k取哪些整数时,方程的两个实数根均为整数.
4.已知:
关于x的方程kx2+(2k﹣3)x+k﹣3=0.
方程总有实数根;
(2)当k取哪些整数时,关于x的方程kx2+(2k﹣3)x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数?
5.在平面直角坐标系中,将直线l:
沿x轴翻折,得到一条新直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,将抛物线C1:
沿x轴平移,得到一条新抛物线C2与y轴交于点D,与直线AB交于点E、点F.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若线段DF∥x轴,求抛物线C2的解析式;
(3)在
(2)的条件下,若点F在y轴右侧,过F作FH⊥x轴于点G,与直线l交于点H,一条直线m(m不过△AFH的顶点)与AF交于点M,与FH交于点N,如果直线m既平分△AFH的面积,又平分△AFH的周长,求直线m的解析式.
6.已知:
关于x的一元二次方程﹣x2+(m+4)x﹣4m=0,其中0<m<4.
(1)求此方程的两个实数根(用含m的代数式表示);
(2)设抛物线y=﹣x2+(m+4)x﹣4m与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),若点D的坐标为(0,﹣2),且AD•BD=10,求抛物线的解析式;
(3)已知点E(a,y1)、F(2a,y2)、G(3a,y3)都在
(2)中的抛物线上,是否存在含有y1、y2、y3,且与a无关的等式?
如果存在,试写出一个,并加以证明;
如果不存在,说明理由.
7.点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2(m为常数,m>0)上任一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°
后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.
(1)当m=2,点P横坐标为4时,求Q点的坐标;
(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a;
(3)如图,点Q在第一象限内,点D在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,AQ=2QC,当QD=m时,求m的值.
8.关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根,且c为正整数.
(1)求c的值;
(2)若此方程的两根均为整数,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点(A在B左侧),与y轴交于点C.点P为对称轴上一点,且四边形OBPC为直角梯形,求PC的长;
(3)将
(2)中得到的抛物线沿水平方向平移,设顶点D的坐标为(m,n),当抛物线与
(2)中的直角梯形OBPC只有两个交点,且一个交点在PC边上时,直接写出m的取值范围.
9.如图,已知AD为△ABC的角平分线,EF为AD的垂直平分线.求证:
FD2=FB•FC.
10.如图,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线.
求证:
(1)∠EAD=∠EDA.
(2)DF∥AC.
(3)∠EAC=∠B.
11.已知:
关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0(m为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,求证:
无论m取何值,抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1总过x轴上的一个固定点;
(3)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1=0有两个不相等的整数根,把抛物线y=(m﹣1)x2+(m﹣2)x﹣1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.
12.已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形,则∠ABC= _________ ;
(2)如图2,若∠ABC=30°
,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4.求BD的长;
(3)如图3,若∠ACD为锐角,作AH⊥BC于H.当BD2=4AH2+BC2时,∠DAC=2∠ABC是否成立?
若不成立,请说明你的理由;
若成立,证明你的结论.
13.已知关于x的方程mx2+(3﹣2m)x+(m﹣3)=0,其中m>0.
方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,其中x1>x2,若
,求y与m的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,请根据函数图象,直接写出使不等式y≤﹣m成立的m的取值范围.
14.已知:
关于x的一元二次方程x2+(n﹣2m)x+m2﹣mn=0①
方程①有两个实数根;
(2)若m﹣n﹣1=0,求证:
方程①有一个实数根为1;
(3)在
(2)的条件下,设方程①的另一个根为a.当x=2时,关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a(n﹣2m)x+m2﹣mn的图象交于点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D.当L沿AB由点A平移到点B时,求线段CD的最大值.
15.如图,已知抛物线y=(3﹣m)x2+2(m﹣3)x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=
上,直线y=mx+b经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C.
(1)确定直线AB的解析式;
(2)将直线AB绕点O顺时针旋转90°
,与x轴交于点D,与y轴交于点E,求sin∠BDE的值;
(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G,点M在直线BG上,且到抛物线的对称轴的距离为6.设点N在直线BG上,请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°
的点N的坐标.
16.如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C在⊙O上,CF⊥OC,且CF=BF.
(1)证明BF是⊙O的切线;
(2)设AC与BF的延长线交于点M,若MC=6,求∠MCF的大小.
17.如图1,已知等边△ABC的边长为1,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为p.
(1)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点,则p= _________ ;
(2)若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点,则p的取值范围是 _________ .
小亮和小明对第
(2)问中的最小值进行了讨论,小亮先提出了自己的想法:
将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C,再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C,如图2所示.则由轴对称的性质可知,DF+FE1+E1D2=p,根据两点之间线段最短,可得p≥DD2.老师听了后说:
“你的想法很好,但DD2的长度会因点D的位置变化而变化,所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说:
“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法,写出你的答案.
18.已知关于x的方程x2﹣(m﹣3)x+m﹣4=0.
(2)若方程有一个根大于4且小于8,求m的取值范围;
(3)设抛物线y=x2﹣(m﹣3)x+m﹣4与y轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M,求m的值.
19.在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,tan∠BAC=
.点D在边AC上(不与A,C重合),连接BD,F为BD中点.
(1)若过点D作DE⊥AB于E,连接CF、EF、CE,如图1.设CF=kEF,则k= _________ ;
(2)若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点,如图2所示.求证:
BE﹣DE=2CF;
(3)若BC=6,点D在边AC的三等分点处,将线段AD绕点A旋转,点F始终为BD中点,求线段CF长度的最大值.
20.我们给出如下定义:
如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如:
如图1,平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点.
(1)如图2,已知平行四边形ABCD,请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:
画出必要的辅助线);
(2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图3、图4中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积):
①如图3,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是 _________ ;
②如图4,当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是 _________ .
21.已知:
关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数,二次函数y=ax2﹣bx+kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1.
(1)若方程①的根为正整数,求整数k的值;
(2)求代数式
的值;
(3)求证:
关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0②必有两个不相等的实数根.
22.已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D.
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形;
(3)在
(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E′FG.设P(x,0),△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点(0,3),(3,0),(﹣2,﹣5).求:
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数的最值;
(3)若设这个二次函数图象与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),且点A是该图象的顶点,请在这个二次函数的对称轴上确定一点B,使△ACB是等腰三角形,求出点B的坐标.
24.根据所给的图形解答下列问题:
(1)如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,AD⊥BC于D,把△ABD绕点A旋转,并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形,请你在图中完成这个作图;
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,请你设计一种与
(1)不同的方法,将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形;
(3)设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,请你依据此矩形画出正形,并根据你所画的图形,证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论.
25.例.如图①,平面直角坐标系xOy中有点B(2,3)和C(5,4),求△OBC的面积.
解:
过点B作BD⊥x轴于D,过点C作CE⊥x轴于E.依题意,可得
S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE
=
×
(3+4)×
(5﹣2)+
2×
3﹣
5×
4=3.5.
∴△OBC的面