矩阵的广义逆及其应用文档格式.docx

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2.1定义

定义1.对于任意复数矩阵

，如果存在

，满足Moore—Penroce方程

则称

为

的一个Moore—Penroce广义逆，或简称加号逆，记作

=

。

如果某个

只满足其中某几条，则称它为

的某几条广义逆。

如若有某个

满足

（1）式，则称

的{1}广义逆，或简称减号逆，记作

如果Y满足

（1）和

（2）式，则称

的

广义逆，记作Y

{1,2}。

例1.设

当

时，

可逆,且

;

不可逆,且不难验证

注意到

这说明

的元素并非是关于

的元素的连续函数。

一般地，把

的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。

例2.设矩阵

矩阵。

若

，定义

；

（

）。

定义2.设

行

列矩阵，若其中

，

的级数相同，则

（1-1）

其中

列式

中元素

的代数余子式，则称

为的

广义伴随矩阵。

列矩阵，若

则称

为一广义非奇异矩阵；

，则称

为一广义奇异矩阵。

2.2方程的理论推导

命题1.

证明：

设

则

因此

满足矩阵方阵

反之，设

为矩阵方程

的一个解，那么

于是

所以

{1,3}，从而

{1，3}={

的解}。

证毕。

类似地，可得

命题2.

由命题1和命题2立即可得

命题3.

命题4.如果

分别为矩阵方程

的一个解，那么，

根据命题1和命题2可得

由

的唯一性可知，

又

所以，

3.矩阵广义逆的定理

定理1.

的广义逆

具有下列性质：

例3.设矩阵

不难检验，

因此有

而

故

例4.设矩阵

满足

矩阵，且

，则直接验证可得

因为

从而有

定理2.设

l，则

（1）

（2）

（1）先证第一个等价性，必要性是显然的。

下证充分性。

且

，则

，且

所以，将等式

右消

，可得

故

等价于

，用第一个等价性，可得

此即第2个等价性。

（2）若

反之，若

则可直接验明

定理3.下列命题是等价的：

①

（1）

（2）

（3）

②

（1）

③

（1）

，

（2）

（3）

.

定理4.如果

矩阵

的行（列）式

那么

是

的广义逆。

证明:

，因为

所有

证毕。

下面给出求矩阵广义逆的初等变换法：

本文只对

的情况进行讨论，当

时，利用列式相应的性质可得相应的结论，用

表示矩阵

的位于1，2，

行；

列的元素构成的

阶子式

定理5.设

如果

的行列式不为零，则

的广义逆，其中

阶零矩阵,

这里

是列交换初等矩阵。

证明:

因为

是一个

矩阵，所以

从而

一般地，如果

是满秩的，且

的行列式不等于零，则当

的一个广义逆，其中P满足

时，设

，则

的广义逆。

时，两种方法求得矩阵的广义逆是相同的，都是矩阵的逆。

如果

，则两种方法求得矩阵的广义逆也有可能不同，并且由定理1、定理2的条件可知，定理2的应用范围更广。

因为由

可知

是满秩的，但反之不成立。

例5.设

，因为

，所以用伴随矩阵法求得

又因为

的二阶子式

所以，可用初等变换法求得

①

，

②

③

例如,若

，则

是满秩的。

故该矩阵有广义逆，可用初等矩阵法求得，但由于

，故不能用广义伴随矩阵法求

定理6.

当且仅当下面的两个等式成立

例6.考虑三角矩阵

，显然其特征值为

，由定义式直接解方程可得

的特征值显然为0，

，但

进一步，可检验

的对应特征值为0,2的特征向量分别为

，而

的对应特征值0,

的特征向量分别为

显然

的特征向量

均非

的特征向量，但

的特征向量一定是

的特征向量。

定理7.

阶方阵

为一个EP-矩阵当且仅当

例7.仍考虑矩阵

，由上例可得，

说明矩阵

非EP-矩阵。

定理8.

均为

4.广义逆的应用

4.1

①两分块矩阵

的MP逆

（ⅰ）1964年，R.E.Cline获得了分块矩阵

的显式

（4.1）

其中

（ⅱ）1971年，L.Mihalyffy得到了

的较简公式

（4.2）

②四分块矩阵

1965年，R.E.Cline利用他自己的公式（4.1）给出了矩阵之和的MP逆的两个公式：

（4.3）

则有

（4.4）

（ⅱ）1975年，Ching-hsingHung与T.L.Markham写

之后，

利用公式（4.4），导出了

的一个很复杂的表达式

（4.5）

如果利用L.Mihalyffy的较简公式（4.2），则相关结果可稍稍简化。

其中

（2）若

（3）

均如公式（4.5）中所定义的，而P与Q定义为

注：

对于一般的四分块矩阵

，其MP逆的表达式总是非常复杂的；

只有在其子块具有若干特殊的性质与关系时，其MP逆的显式才可能简单些。

4.2

定理1.设

与

分别是

的子空间，

，另设

这里

均列满秩，记

有如下表示：

（1a）

（1b）

（2a）

（2b）

定理2.设

存在，并设

均列满秩，则

有下列表示：

定理3.设

此中

均列满秩，置

可以表示为:

（1a）

为m维标准单位向量，

（1b）

，其中

为n维标准单位向量。

的第j列，

（2b）

的第i行。

（3a）

同

（3b）

（4a）

表示

（4b）

表示U的第i行。

定理4.（I）设

，则：

（1）MP逆

（2）加权MP逆

（3）T-约束MP逆

（4）加权Drazin逆

，其中

（5）Elden逆

（II）设

（6）Drazi