矩阵的广义逆及其应用文档格式.docx

1、2.1定义定义1.对于任意复数矩阵，如果存在，满足MoorePenroce方程则称为的一个MoorePenroce广义逆，或简称加号逆，记作=。如果某个只满足其中某几条，则称它为的某几条广义逆。如若有某个满足（1）式，则称的1广义逆，或简称减号逆，记作如果Y满足（1）和（2）式，则称的广义逆，记作Y 1,2。例1.设当时，可逆,且;不可逆,且不难验证注意到,这说明的元素并非是关于的元素的连续函数。一般地，把的元素的变化引起其秩的变化时，这种非连续性将会发生。例2.设矩阵矩阵。若，定义；（）。定义2.设行列矩阵，若其中，的级数相同，则 （1-1）其中列式中元素的代数余子式，则称为的广义伴随矩阵。

2、列矩阵，若,则称为一广义非奇异矩阵；，则称为一广义奇异矩阵。2.2方程的理论推导命题1.证明：设,则因此满足矩阵方阵反之，设为矩阵方程的一个解， 那么于是所以 1,3，从而1，3=的解。证毕。类似地，可得命题2.由命题1和命题2立即可得命题3.命题4. 如果,分别为矩阵方程的一个解，那么，根据命题1和命题2可得由的唯一性可知，,又所以，3.矩阵广义逆的定理定理1.的广义逆具有下列性质： 例3.设矩阵,不难检验，,因此有,而,故 例4.设矩阵满足矩阵，且，则直接验证可得 因为 从而有定理2. 设l ，则（1） （2）（1）先证第一个等价性，必要性是显然的。下证充分性。且，则，且所以，将等式右消，

3、可得,故等价于，用第一个等价性，可得此即第2个等价性。（2） 若反之，若,则可直接验明定理3 .下列命题是等价的：（1）,（2） ,（3） （1） （1） ，（2） , （3） .定理4.如果矩阵的行（列）式,那么是的广义逆。证明:， 因为所有 证毕。下面给出求矩阵广义逆的初等变换法：本文只对的情况进行讨论，当时，利用列式相应的性质可得相应的结论，用表示矩阵的位于1，2，行；列的元素构成的阶子式定理5.设 ,如果的行列式不为零，则的广义逆，其中阶零矩阵,这里是列交换初等矩阵。 证明: 因为是一个矩阵，所以从而一般地，如果是满秩的，且的行列式不等于零，则当的一个广义逆，其中P满足时，设，则 的广

4、义逆。时，两种方法求得矩阵的广义逆是相同的，都是矩阵的逆。如果，则两种方法求得矩阵的广义逆也有可能不同，并且由定理1、定理2的条件可知，定理2的应用范围更广。因为由可知是满秩的，但反之不成立。例5.设，因为，所以用伴随矩阵法求得又因为的二阶子式, 所以，可用初等变换法求得， 例如,若 ，则是满秩的。故该矩阵有广义逆，可用初等矩阵法求得，但由于，故不能用广义伴随矩阵法求定理6.当且仅当下面的两个等式成立例6.考虑三角矩阵，显然其特征值为，由定义式直接解方程可得的特征值显然为0，但进一步，可检验的对应特征值为0,2的特征向量分别为， 而的对应特征值0, 的特征向量分别为显然的特征向量均非的特征向量

5、，但的特征向量一定是的特征向量。定理7.阶方阵为一个EP-矩阵当且仅当例7.仍考虑矩阵，由上例可得，说明矩阵非EP-矩阵。定理8.均为4.广义逆的应用4.1两分块矩阵的MP逆（）1964年，R.E.Cline获得了分块矩阵的显式 （4.1）其中 （）1971年，L.Mihalyffy得到了的较简公式 （4.2）四分块矩阵1965年，R.E.Cline利用他自己的公式（4.1）给出了矩阵之和的MP逆的两个公式： （4.3）,则有 （4.4）（）1975年，Ching-hsing Hung与T.L.Markham写之后，利用公式（4.4），导出了的一个很复杂的表达式 （4.5）如果利用L.Miha

6、lyffy的较简公式（4.2），则相关结果可稍稍简化。,其中（2）若（3）均如公式（4.5）中所定义的，而P与Q定义为注：对于一般的四分块矩阵，其MP逆的表达式总是非常复杂的；只有在其子块具有若干特殊的性质与关系时，其MP逆的显式才可能简单些。4.2定理1.设与分别是的子空间，另设,这里均列满秩，记有如下表示：（1a） （1b） （2a） （2b） 定理2.设存在，并设均列满秩，则有下列表示：定理3.设 ,此中 , 均列满秩，置可以表示为:（1a） 为m维标准单位向量，（1b），其中为n维标准单位向量。的第j列，（2b）的第i行。（3a）同（3b）（4a）表示（4b）表示U的第i行。定理4.（I）设，则：（1）MP逆（2）加权MP逆（3）T-约束MP逆（4）加权Drazin逆，其中 （5）Elden逆 ,（II）设（6）Drazi