高三一轮专题复习平面向量的应用有详细答案解析Word文档下载推荐.docx
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（4）在△ABC中，若
·
<
0，则△ABC为钝角三角形．（ ×
）
（5）（理）作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为
.（ √ ）
（6）已知平面直角坐标系内有三个定点A（－2，－1），B（0,10），C（8,0），若动点P满足：
＋t（
＋
），t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.（ √ ）
2．（2013·
福建）在四边形ABCD中，
＝（1,2），
＝（－4,2），则该四边形的面积为（ ）
A.
B．2
C．5D．10
答案 C
解析 ∵
＝0，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积S＝
|
|·
×
2
＝5.
3．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（
，－1），n＝（cosA，sinA）．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为（ ）
，
B.
C.
D.
解析 由m⊥n得m·
n＝0，即
cosA－sinA＝0，
即2cos
∵
A＋
，∴A＋
，即A＝
.
又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA
＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c＝csinC，
所以sinC＝1，C＝
，所以B＝π－
－
4．平面上有三个点A（－2，y），B
，C（x，y），若
⊥
，则动点C的轨迹方程为__________．
答案 y2＝8x（x≠0）
解析 由题意得
又
，∴
即
＝0，化简得y2＝8x（x≠0）．
5．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．
答案 2
m/s
解析 如图所示小船在静水中的速度为
＝2
m/s.
题型一 平面向量在平面几何中的应用
例1 如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：
PA＝EF.
思维启迪 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．
证明
建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ（0<
λ<
），
则A（0,1），P（
λ，
λ），
E（1，
λ），F（
λ，0），
∴
＝（－
λ，1－
＝（
λ－1，－
∴|
|＝
|＝|
|，即PA＝EF.
思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系．
（1）平面上O，A，B三点不共线，设
＝a，
＝b，则△OAB的面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）在△ABC中，已知向量
与
满足
＝0且
，则△ABC为
（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
答案
（1）C
（2）A
解析
（1）∵cos∠BOA＝
则sin∠BOA＝
∴S△OAB＝
|a||b|
（2）因为非零向量
＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又cos∠BAC＝
，所以∠BAC＝
所以△ABC为等边三角形．
题型二 平面向量在三角函数中的应用
例2 已知在锐角△ABC中，两向量p＝（2－2sinA，cosA＋sinA），q＝（sinA－cosA,1＋sinA），且p与q是共线向量．
（1）求A的大小；
（2）求函数y＝2sin2B＋cos
取最大值时，B的大小．
思维启迪 向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单．
解
（1）∵p∥q，
∴（2－2sinA）（1＋sinA）－（cosA＋sinA）（sinA－cosA）＝0，
∴sin2A＝
，sinA＝
∵△ABC为锐角三角形，∴A＝60°
（2）y＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos
＝2sin2B＋cos（2B－60°
）
＝1－cos2B＋cos（2B－60°
＝1－cos2B＋cos2Bcos60°
＋sin2Bsin60°
＝1－
cos2B＋
sin2B＝1＋sin（2B－30°
当2B－30°
＝90°
，即B＝60°
时，函数取最大值2.
思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝（a＋b，sinC），n＝（
a＋c，sinB－sinA），若m∥n，则角B的大小为________．
答案
解析 ∵m∥n，∴（a＋b）（sinB－sinA）－sinC（
a＋c）＝0，又∵
则化简得a2＋c2－b2＝－
ac，
∴cosB＝
＝－
，∵0<
B<
π，∴B＝
题型三 平面向量在解析几何中的应用
例3 已知平面上一定点C（2,0）和直线l：
x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且（
）·
（
）＝0.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若EF为圆N：
x2＋（y－1）2＝1的任一条直径，求
的最值．
思维启迪
（1）直接利用数量积的坐标运算代入；
（2）将
转化为关于y的函数，求函数的最值．
解
（1）设P（x，y），则Q（8，y）．
由（
）＝0，
得|
|2－
|2＝0，
即（x－2）2＋y2－
（x－8）2＝0，
化简得
＝1.
所以点P在椭圆上，其方程为
（2）∵
＝0.
2－
＝x2＋（y－1）2－1
＝16（1－
）＋（y－1）2－1
y2－2y＋16
（y＋3）2＋19.
∵－2
≤y≤2
∴当y＝－3时，
的最大值为19，
当y＝2
时，
的最小值为12－4
综上：
的最大值为19；
思维升华 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．
已知点P（0，－3），点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足
，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解 设M（x，y）为所求轨迹上任一点，
设A（a,0），Q（0，b）（b>
0），
则
＝（a,3），
＝（x－a，y），
＝（－x，b－y），
由
＝0，得a（x－a）＋3y＝0.①
得（x－a，y）＝－
（－x，b－y）
x，
（y－b）），
把a＝－
代入①，得－
（x＋
）＋3y＝0，
整理得y＝
x2（x≠0）．
题型四 平面向量在物理中的应用
例4 在长江南岸渡口处，江水以
km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
思维启迪 题中涉及的三个速度（向量）：
江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心．
答案 北偏西30°
解析 如图所示，渡船速度为
，水流速度为
船实际垂直过江的速度为
依题意知|
，|
|＝25.
2，
∴25×
cos（∠BOD＋90°
）＋（
）2＝0，
∴cos（∠BOD＋90°
）＝－
，∴sin∠BOD＝
∴∠BOD＝30°
，∴航向为北偏西30°
思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意：
（1）认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；
（2）通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；
（3）利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；
（4）利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．
质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：
牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°
角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
解析 方法一 由已知条件F1＋F2＋F3＝0，
则F3＝－F1－F2，F
＝F
＋F
＋2|F1||F2|cos60°
＝28.
因此，|F3|＝2
方法二 如图，|
|2＝|F1|2＋
|F2|2－2|F1||F2|cos60°
＝12，
则|
|2＋|
|2＝|
|2，
即∠OF1F2为直角，
|F3|＝2
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