数学文化与数学史问题详解Word文件下载.docx

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将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。

这对数学教育改革也具有极其重要的意义。

Lecture2古代数学（I）：

埃及

3.Rhind纸草书问题79是一个等比数列求和问题，介绍其中蕴涵的等比数数列求和方法。

4.“埃及几何学中的珍宝”是什么？

正四棱台体积公式：

Lecture3古代数学（II）：

美索不达米亚

3.研究古巴比伦时期的泥版BM15285。

设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？

5古代巴比伦人是如何求平方根近似值的？

7.美国哥伦比亚大学收藏的Plimpton322号巴比伦泥版的容是什么？

泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。

但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O.Neugebauer,1899～1990）经过研究惊奇地发现：

第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！

例如（见下表，表中数字均为60进制）：

，，等等这就表明，它是一勾股数表。

英国著名数学家齐曼（C.Zeeman,1925～）指出，如果巴比伦人使用了勾股数一般公式

，，

那么，满足，且（是勾所对的角）为有限小数的勾股数只有16组。

而Plimpton322号泥版给出了其中的15组！

其水平之高，令人惊叹不已。

6古巴比伦时期的泥版Str.362上记载了如下问题：

“十兄弟分银迈纳，每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，已知老八分得6斤（1迈纳＝60斤）。

问：

各兄弟比相邻的弟弟多得几何？

”泥版上给出的解法是：

“取十兄弟所得平均数10斤，倍之，得20斤；

减去老八所得的两倍即12斤，得8斤。

于是，公差为8/5斤。

”用我们今天的代数符号来表达这一解法，并写出一般公式。

Lecture4古代数学（III）：

中国

14用出入相补原理证明勾股定理。

16介绍西汉时期的“日高公式”。

南宋数学家辉是如何推导这个公式的？

日高公式：

辉推导日高公式：

如图所示，图中两个黄色的面积是相等的。

根据上面的原理我们可得：

（其中d为两个杆子的距离）

19试述徽和祖暅的球体积工作。

为了证明公式不正确，刘徽在立方体内作两个相互垂直的内切圆柱，并把公共部分立体称作“牟合方盖”。

如下图

⇨

两个圆柱面的公共部分（牟合方盖）正好把半径为R的球体包含在内。

刘徽想若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方形。

如右图

正方形与其切圆的面积之比都是：

由“截面原理”可得：

于是我们只要求出牟合方盖的体积即可求出球的体积。

徽：

提出从立方体割出牟合方盖之后所余的“外棋”着手。

但是外棋的复杂难倒了徽。

祖暅：

对边长为D的正方体及其牟合方盖的八分之一进行考察如右图并将其分解为一个棋和三个外棋

内棋

外棋

祖暅公理：

用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面面积处处相等，则这两个立体的体积就相等。

13.在直角三角形中，勾、股、弦分别为a、b、c，已知勾弦差（c-a）和股弦差（c-b），

试用中国古代的方法来证明下面一组公式：

，

，

则有：

此图是将边长分别为a，b，c的三个正方形合在一起的

14.简要介绍徽的割圆术。

（要求写出相关公式）

圆接正多边形边长递推公式：

Lecture5古希腊数学

21描述希皮亚斯（Hippias,公元前5世纪）的割圆曲线，并用利用它来三等分角。

17.用欧几里得的方法证明勾股定理。

得证

23.用欧几里得的方法证明命题：

“素数无限多”。

答：

假设素数个数有限，则必有一个最大的设最大的素数是P

令n=2*3*5*7*……*P+1，即把所有的素数相乘并加上1，显然n>

P

若因为P是最大素数，所以n是合数，则n能被2，3，……，P中至少一个素数整除，但用这些数去除n，都有余数1，即都不能整除

这就有两种可能

（1）n是素数

（2）n是合数，但他只能被大于P的素数整除

这两种情况都和P是最大素数矛盾。

所以假设错误，所以素数是无限

27.如图所示，ADBC是球O被纸面所截得的大圆，AB和CD是其相互垂直的两条直径。

XVWY是球O的外切圆柱（以AB为轴）的相应截面。

阿基米德通过力学方法发现：

球O的体积等于直径为CD且垂直于纸面的大圆为底、以B为顶点的圆锥BCD的体积的4倍。

试介绍阿基米德的方法。

20.利用托勒密定理推导和角正弦公式。

22.证明海伦三角形面积公式。

Lecture6中世纪数学

23.叙述中国剩余定理。

37阿拉伯数学家阿尔·

卡克希（Al-Karkhi,953-1029）是如何推导自然数三次幂和公式的？

如下图所示：

39斐波纳契《计算之书》中有如下问题：

“棋盘（64格）上的数列满足：

任意一项等于它前面所有各项和的两倍。

已知首项为1，求棋盘上数列各项之和。

”试用今天的方法求解。

41.在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为n，并且从1号开始按顺时针方向点数，每点

到2，第2号被扔进大海。

记最后剩下的一个人位于第J（n）号。

试给出J（n）与n的一般关系式，并计算J（100）和J（500）。

Lecture7文艺复兴时期的欧洲数学

29.给出三次方程x3+px=q的求根公式。