房山一模 北京市房山区届高三第一次模拟考试数学理试题Word下载.docx

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A．B．

C．D．

7．向量，，若与的夹角等于，则的最大值为（　　）

A．　B．C．D．

8．一个人骑车以米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同）,若汽车在时刻的速度米/秒，那么此人（）

A．可在秒内追上汽车B．不能追上汽车,但其间最近距离为16米

C．不能追上汽车,但其间最近距离为米D．不能追上汽车,但其间最近距离为米

第II卷非选择题（共110分）

二、填空题：

本大题共6小题,每小题5分,共30分。

把答案填在答题卡指定位置。

9．已知复数满足，则复数．

10．执行如下图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为．

11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的

大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地

投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是．

12．如图所示，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心．

已知，，．则圆的半径．

13．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为，此时，直线的方程为．

14．已知函数是上的偶函数，对，都有成立．当，，且时，都有，给出下列命题：

（1）；

（2）直线是函数图象的一条对称轴；

（3）函数在上有四个零点；

（4）.其中所有正确命题的序号为．

三、解答题：

本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15．（本小题共13分）

已知函数.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）在△中，三个内角的对边分别为，已知，且△外接圆的半径为，求的值.

16.（本小题共13分）

为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为，其中第组的频数为.

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.

17.（本小题共14分）

在如图所示的多面体中，⊥平面，⊥平面ABC，

，且，是的中点．

（Ⅰ）求证：

⊥；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使得直线与平面

所成的角为．若存在，指出点的位置；

若不存在，请说明理由．

18．（本小题共13分）

已知，其中．

（Ⅰ）若函数在点处切线斜率为，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．

19.（本小题共14分）

动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）已知定点，，动点在直线上，作直线与轨迹的另一个交点为,作直线与轨迹的另一个交点为，证明：

三点共线.

20．（本小题共13分）

下表给出一个“等差数阵”：

4

7

（）

…

12

其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数.

（I）写出的值；

（II）写出的计算公式；

（III）证明：

正整数在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是的正整数之积..

高三数学（理科）

参考答案

一、选择题（每题5分，共40分）

题号

1

2

3

5

6

8

答案

C

A

B

D

D

二、填空题（每题5分，共30分）

9．;

10.8;

11.;

12.8；

13.;

14.

（1）

（2）（4）

三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。

共80分）

15．（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）∵………………2分

=………………3分

由Z）得，Z）5分

∴的单调递增区间是Z）………………7分

（Ⅱ）∵，，

于是

∴………………10分

∵外接圆的半径为

由正弦定理，得

，………………13分

16．（本小题共13分）

（I）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为，则由条件可得：

解得，

又因为故………………5分

（II）由（I）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为

，

∴随机变量的分布列为：

则，或．

………………13分

17．（本小题共14分）

（I）证明：

是的中点．

又平面，．

平面

∴………………4分

（Ⅱ）以为原点，分别以,为x，y轴，如图建立坐标系，

则

设平面的一个法向量，则

取所以

取，所以

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.………………9分

（Ⅲ）设且,

若直线与平面所成的角为，则

解得：

，所以符合条件的点存在，为棱的中点.………………14分

（Ⅰ）由题意得f′（x）＝，x∈（－1，＋∞），

由f′（3）＝0⇒a＝．………………3分

（Ⅱ）令f′（x）＝0⇒x1＝0，x2＝－1，

①当0<

a<

1时，x1<

x2，

f（x）与f′（x）的变化情况如下表

x

（－1,0）

（0，－1）

－1

（－1，＋∞）

f′（x）

－

＋

f（x）

f（0）

f（－1）

∴f（x）的单调递增区间是（0，－1），

f（x）的单调递减区间是（－1,0）和（－1，＋∞）；

②当a＝1时，f（x）的单调递减区间是（－1，＋∞）；

③当a>

1时，－1<

x2<

（－1，－1）

（0，＋∞）

∴f（x）的单调递增区间是（－1,0），

f（x）的单调递减区间是（－1，－1）和（0，＋∞）．

综上，当0<

1时，f（x）的单调递增区间是（0，－1）．

f（x）的单调递减区间是（－1,0），（－1，＋∞），

当a>

1，f（x）的单调递增区间是（－1,0）．

f（x）的单调递减区间是（－1，－1），（0，＋∞）．

当a＝1时，f（x）的单调递减区间为（－1，＋∞）．………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

当0<

1时，f（x）在（0，＋∞）的最大值是f（－1），

但f（－1）>

f（0）＝0，所以0<

1不合题意，

当a≥1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，

由f（x）≤f（0）可得f（x）在[0，＋∞）上的最大值为f（0）＝0，符合题意，

∴f（x）在[0，＋∞）上的最大值为0时，a的取值范围是a≥1．………………13分

19．（本小题共14分）

（Ⅰ）由题意得，………………2分

化简并整理，得.

所以动点的轨迹的方程为椭圆.………………5分

（Ⅱ）当时，点重合，点重合，

三点共线.………7分

当时

根据题意：

由

消元得：

整理得：

该方程有一根为另一根为,根据韦达定理，

当时，由

得：

，三点共线；

当时，，

；

，三点共线.

综上，命题恒成立.………………14分

（I）解：

a45=49.………………3分

（II）解：

该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：

a1j=4+3（j－1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：

a2j=7+5（j－1），

……

第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，

因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.………………7分

必要性：

若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，

从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），

即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

充分性：

若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），

从而N=k（2l+1）+l=akl，

可见N在该等差数阵中.

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积

………………13分