中考数学《压轴题》专题训练含答案解析.doc
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压轴题
1、已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；
（3）若⊙P的半径为，⊙Q的半径为；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标。
解：
（1）
（2）①当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，
∵t>2.5，∴符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△∠OAC，
∵t>2.5，∴符合条件．
综上可知，当时，△OAC与△APQ相似．
（3）⊙Q与直线AC、BC均相切，Q点坐标为（）。
2、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（第2题）
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？
如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
解：
（1）；．
（2）在中，，
．
设点的坐标为，其中，顶点，
∴设抛物线解析式为．
①如图①，当时，，．
解得（舍去）；．．．解得．
抛物线的解析式为
②如图②，当时，，．
解得（舍去）．
③当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
（3）存在点，使得四边形的周长最小．
如图③，作点关于轴的对称点，作点关于
轴的对称点，连接，分别与轴、轴交于
点，则点就是所求点．
，．
．．又，，此时四边形的周长最小值是．
3、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
（1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;
②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;
（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？
如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。
第3题
解：
（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ，
∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．
②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x.
又∵ＢＧ＝2x，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x－1，∴０＜2x－1≤１，∴.
（2）S=DE×DF=
=
当时，.
（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt∠，则两三角形相似，
此时可得ＤＦ＝ＤＧ
即
解得：
．
②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt∠，则两三角形相似，
此时可得ＤＦ＝ＥＦ＝ＢＰ，
即．解得：
．
4、如图，二次函数的图像经过点，
且与轴交于点.
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：
（其中是原点）；
（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：
是否存在这样的点，使？
若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：
（1）∵点与在二次函数图像上，
∴，解得，
∴二次函数解析式为.
（2）过作轴于点，由
（1）得，则在中，，又在中，，
∵，∴.
（3）由与，可得直线的解析式为，
设，则，
∴.∴.
当，解得（舍去），∴.
当，解得（舍去），∴.
综上所述，存在满足条件的点，它们是与.
5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒，△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．
（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
图2
G
246810
1210
8
6
4
2
y
O
x
②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值．
图1
CQ→B
D
A
P↓
解：
（1）∵，CD＝3，CQ＝x，∴．
图象如图所示．
（2）方法一：
，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴．∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴．解得．则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法二：
观察图象知，当x=4时，△PCQ面积为12．
此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．∴由，得．
解得．则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
方法三：
设y2的图象所在抛物线的解析式是．
∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），
∴解得∴．①
∵，CP＝8k－xk，CQ＝x，∴．②
比较①②得.则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．
（3）①观察图象，知线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．②由⑵得.（方法二，）
∵EF＝y2－y1，∴EF＝，
∵二次项系数小于０，∴在范围，当时，最大．
6、如图，在中，，、分别是边、
上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形.
（1）试求的面积；
（2）当边与重合时，求正方形的边长；
（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域；
（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长。
G
F
E
D
C
B
A
解：
（1）过作于，∵，∴.
则在中，，∴.
（2）令此时正方形的边长为，则，解得.
（3）当时，.
当时，.
（4）.
7、如图已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线上．
（1）求、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与相似．
解：
（1）根据题意，得：
解得
B
A
O
1
1
－1
－1
x
y
A′
B′
（2）四边形AA′B′B为菱形，则AA′=B′B=AB=5
∵
=
∴向右平移5个单位的抛物线解析式为
（3）设D（x，0）根据题意，得：
AB=5，
∵∠A=∠BB′A
y
B
A
O
1
1
－1
－1
x
C
B′
D
ⅰ）△ABC∽△B′CD时，∠ABC=∠B′CD，∴BD=6－x，由得解得x=3，∴D（3，0）
ⅱ）△ABC∽△B′DC时，
∴解得∴
8、如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝8，
CD＝10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？
若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？
若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（备用图）
解：
在Ｒt△DCH中，
（2）①
经计算，PQ不平分梯形ABCD的面积
②
，-
9、如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（，0），CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；
A
B
C
O
x
y
（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．
解：
（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC=－1，点C的坐标为（1，－1）；
当点A的坐标为（－1，0）时，AB=AC=＋1，点C的坐标为（－1，＋1）；
（2）直线BC与⊙O相切，过点O作OM⊥BC于点M，∴∠OBM＝∠BOM=45°,
∴OM=OB·sin45°=1，∴直线BC与⊙O相切
（3）过点A作AE⊥OB于点E
在Rt△OAE中，AE2=OA2－OE2=1－x2，
在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=（1-x2）+（-x）2=3-2x
A
B
C
O
x
y
E
∴S=AB·AC=AB2=（3-2x）=
其中－1≤x≤1，
当x=－1时，S的最大值为，
当x=1时，S的最小值为．
（4）①当点A位于第一象限时（如右图）：
连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E
∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，
A
B
（C）
O
x
y
E
又∵∠CAB=90°，∴∠CAB
+∠OAB=180°，
∴点O、A、C在同一条直线上，∴∠AOB=∠C=45°，
在Rt△OAE中，OE=AE=．点A的坐标为（，）
过A、B两点的直线为y=－x+．
②当点A位于第四象限时（如右图）
点A的坐标为（，－），过A、B两点的直线为y=x－．
10、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB
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